初中数学解直角三角形试题

若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形．

（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{ABOC}$的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$的中点 $D$， $E$作 $\mathit{AE}$， $\mathit{AD}$的平行线，相交于点 $F$，已知 $\mathit{OB}=8$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AEFD}$为菱形．

（2）求四边形 $\mathit{AEFD}$的面积．

（3）若点 $P$在 $x$轴正半轴上（异于点 $D)$，点 $Q$在 $y$轴上，平面内是否存在点 $G$，使得以点 $A$， $P$， $Q$， $G$为顶点的四边形与四边形 $\mathit{AEFD}$相似？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$、 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $N$，点 $M$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{AM}$，点 $E$是线段 $\mathit{AM}$上方抛物线上一动点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，交 $\mathit{AM}$于点 $D$．点 $P$是 $y$轴上一动点，当 $\mathit{EF}$取最大值时：

①求 $\mathit{PD}+\mathit{PC}$的最小值；

②如图2， $Q$点为 $y$轴上一动点，请直接写出 $\mathit{DQ}+\frac{1}{4}\mathit{OQ}$的最小值．

如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E，则AE的长为        .

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A$为直角， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$．点 $P$， $Q$， $R$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点 $P$由点 $A$出发以每秒3个单位的速度向点 $B$运动，点 $Q$由点 $B$出发以每秒5个单位的速度向点 $C$运动，点 $R$由点 $C$出发以每秒4个单位的速度向点 $A$运动，在运动过程中：

（1）求证： $\mathit{\Delta APR}$， $\mathit{\Delta BPQ}$， $\mathit{\Delta CQR}$的面积相等；

（2）求 $\mathit{\Delta PQR}$面积的最小值；

（3）用 $t$（秒 $\left)\right(0⩽t⩽2)$表示运动时间，是否存在 $t$，使 $\angle \mathit{PQR}=90°$？若存在，请直接写出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

一轮船以l6海里／时的速度从港口A出发沿着北偏东60°的方向航行，另一轮船以l2海里／时的速度同时从港口A出发沿着南偏东30°的方向航行，离开港口2小时后两船相距_______ 海里．

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=          

已知二次函数： $y=a{x}^2+(2a+1)x+2(a<0)$．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$为负整数时，求 $a$的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$轴的两个交点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴的交点 $C$及其顶点 $D$这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$， $B$， $C$， $D$的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$使 $\angle \mathit{PCA}=75°$？如果存在，求出点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30⁰和60⁰，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）

如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=60⁰，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45⁰，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）

如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）

中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062．68米。某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°。

（1）沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由;
（2）由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间。（参考数据：≈1．414，≈1．732）

由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 $\mathit{AB}$ 的长应是 　　．

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．