初中数学解直角三角形解答题

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径， $\mathit{AC}$为弦，过点 $C$作直线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$．若 $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle E=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{DE}$与半圆相切；

（2）若 $\mathit{BE}=3$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，点 $B$在 $\odot O$上，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $A$， $A{B}^2=\mathit{AD}·\mathit{AC}$， $\mathit{OE}//\mathit{BD}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{OE}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\cos A=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{OF}$的长．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$．且 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{4}{3}\mathit{DC}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$的值．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$是圆 $O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，与 $\mathit{AC}$平行的圆 $O$的一条切线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $M$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，切点为 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CN}$；

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\cos \angle \mathit{DFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AN}=2\sqrt{10}$，求圆 $O$的直径的长度．

如图，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$外接于 $\mathit{\Delta ABC}$，过 $A$点的切线 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $P$， $\angle \mathit{APB}$的平分线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，其中 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}(\mathit{AE}<\mathit{BD})$的长是一元二次方程 $x^2-5x+6=0$的两个实数根．

（1）求证： $\mathit{PA}\cdot \mathit{BD}=\mathit{PB}\cdot \mathit{AE}$；

（2）在线段 $\mathit{BC}$上是否存在一点 $M$，使得四边形 $\mathit{ADME}$是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

如图，以 $\mathit{AB}$边为直径的 $\odot O$经过点 $P$， $C$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{PC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，且 $\angle \mathit{ACP}=60°$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}$．

（1）试判断 $\mathit{PD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，已知 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径，点 $P$为 $\odot O$外一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}=\sqrt{2}\mathit{AB}$，连接 $\mathit{PO}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{PO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）证明： $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=2\sqrt{2}$，证明： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $\mathit{PB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，点 $D$在 $\odot O$外， $\angle \mathit{ADC}=90°$， $\mathit{BD}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{DCE}$， $\angle \mathit{CEB}=\angle \mathit{DCA}$， $\mathit{CD}=6$， $\mathit{AD}=8$．

（1）求证： $\mathit{AB}//\mathit{CD}$；

（2）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（3）求 $\tan \angle \mathit{ACB}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta CDE}$都是等边三角形，点 $B$、 $C$、 $E$三点在同一直线上，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $A{D}^2=\mathit{DF}·\mathit{DB}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{BE}=6$．

①求 $\tan \angle \mathit{DBE}$的值；②求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\odot O$的半径为 $R$，其内接锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A$、 $\angle B$、 $\angle C$所对的边分别是 $a$、 $b$、 $c$．

（1）求证： $\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$；

（2）若 $\angle A=60°$， $\angle C=45°$， $\mathit{BC}=4\sqrt{3}$，利用（1）的结论求 $\mathit{AB}$的长和 $\sin \angle B$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是斜边 $\mathit{AB}$上的中线，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $M$、 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$．

（1）若 $\odot O$的半径为 $\frac{5}{2}$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BN}$的长；

（2）求证： $\mathit{NE}$与 $\odot O$相切．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$是弧 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{OD}$分别交于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{DO}//\mathit{AC}$；

（2）求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{DA}=D{C}^2$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{CAD}=\frac{1}{2}$，求 $\sin \angle \mathit{CDA}$的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{BCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=10$， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$，求 $\odot O$的半径．