如图，以AB为直径的⊙O外接于ΔABC，过A点的切线AP与B

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 外接于 $ΔABC$ ，过 $A$ 点的切线 $AP$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$ ， $∠ APB$ 的平分线分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，其中 $AE$ ， $BD (AE < BD)$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个实数根．

（1）求证： $PA \cdot BD = PB \cdot AE$ ；

（2）在线段 $BC$ 上是否存在一点 $M$ ，使得四边形 $ADME$ 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

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如图，函数 $y = \{\begin{matrix} 2 x, (0 ⩽ x ⩽ 3) \\ - x + 9, (x > 3) \end{matrix}$ 的图象与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 相交于点 $A (3, m)$ 和点 $B$ ．

（1）求双曲线的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）若点 $P$ 在 $y$ 轴上，连接 $PA$ ， $PB$ ，求当 $PA + PB$ 的值最小时点 $P$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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为了吸引游客，某景区通过加强对服务人员的培训、增建索道和开发新景点等措施，对景区品质进行提档升级，升级后游客人数平均每月是升级前的1.1倍还多3000人，且在 $t$ 个月时间内，升级前只能达36万游客，而升级后可达43.2万游客．

（1）问升级前和升级后平均每月各有多少万游客？

（2）现在景区内去极险峰的索道票价为80元 $/$ 张，为了确保景区索道运营有利润，又要保障游客安全，需使每天卖出的索道票总金额超过2万元而票数不超过1000张，问景区每天卖出的索道票数的范围．

题型：未知
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为了解学生的课外阅读情况，某市教育局在某校学生中随机抽取了100名学生进行调研，获得了他们一周的课外阅读时间的相关数据，通过整理得到如下的频数分布直方图．

（1）已知阅读时间在 $8 ⩽ x < 10$ 之间的学生的频率为0.4，求 $a$ 、 $b$ 的值．

（2）在样本数据中，从阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间与在 $4 ⩽ x < 6$ 之间的两个时间段内的学生中随机选取2名学生，请用列举法求出任选的2人中恰有1人一周阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间的概率．

（3）该校规定一周课外阅读时间在10小时及以上的学生，可申请“博闻阅读”项目的资助，如果该校共有学生3000名，用样本估计该校可申请“博闻阅读”项目资助的学生人数．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $BC$ 的中点， $CE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ， $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $AF$ 与 $CE$ 相交于点 $G$ ．

（1）证明： $ΔCFG ≅ ΔAEG$ ．

（2）若 $AB = 4$ ，求四边形 $AGCD$ 的对角线 $GD$ 的长．

题型：未知
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如图1，点 $A$ 坐标为 $(2, 0)$ ，以 $OA$ 为边在第一象限内作等边 $ΔOAB$ ，点 $C$ 为 $x$ 轴上一动点，且在点 $A$ 右侧，连接 $BC$ ，以 $BC$ 为边在第一象限内作等边 $ΔBCD$ ，连接 $AD$ 交 $BC$ 于 $E$ ．

（1）①直接回答： $ΔOBC$ 与 $ΔABD$ 全等吗？

②试说明：无论点 $C$ 如何移动， $AD$ 始终与 $OB$ 平行；

（2）当点 $C$ 运动到使 $A C^{2} = AE \cdot AD$ 时，如图2，经过 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线为 $y_{1}$ ．试问： $y_{1}$ 上是否存在动点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 为直角三角形且 $BE$ 为直角边？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴翻折得 $y_{2}$ ，设 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 组成的图形为 $M$ ，函数 $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} m$ 的图象 $l$ 与 $M$ 有公共点．试写出： $l$ 与 $M$ 的公共点为3个时， $m$ 的取值．

题型：未知
难度：未知

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