初中数学解直角三角形试题

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．

如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）

A．144cm

B．180cm

C．240cm

D．360cm

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，连接对角线 $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $M$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$交于点为 $N$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{AD}$交于点 $O$，分别延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$于点 $G$，设 $\mathit{AB}=3$．有以下结论：

① $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$

② $\mathit{MN}=2\sqrt{3}$

③ $\mathit{\Delta DAG}$的重心、内心及外心均是点 $M$

④四边形 $\mathit{FACD}$绕点 $O$逆时针旋转 $30°$与四边形 $\mathit{ABDE}$重合

则所有正确结论的序号是 　　．

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝         ，b＝          ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝         ，b＝          ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$，点 $P$是 $\mathit{CD}$边上的任意一点（不含 $C$， $D$两端点），过点 $P$作 $\mathit{PF}//\mathit{BC}$，交对角线 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta PDF}$沿对角线 $\mathit{BD}$翻折得到 $\mathit{\Delta QDF}$， $\mathit{QF}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰三角形；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta PDF}$绕点 $D$逆时针方向旋转得到△ $P^{\text{'}}D{F}^{\text{'}}$，连接 $P^{\text{'}}C$， $F^{\text{'}}B$．设旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$．

①若 $0°<\alpha <\angle \mathit{BDC}$，即 $D{F}^{\text{'}}$在 $\angle \mathit{BDC}$的内部时，求证：△ $D{P}^{\text{'}}C\backsim$△ $D{F}^{\text{'}}B$．

②如图3，若点 $P$是 $\mathit{CD}$的中点，△ $D{F}^{\text{'}}B$能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan \angle \mathit{DB}{F}^{\text{'}}$的值，如果不能，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 $2)$ ，则图1中所标注的 $d$ 的值为 　　；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　　．

已知在 $\mathit{\Delta ACD}$ 中， $P$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $B$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上的一点，连结 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AP}=\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{AP}$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{CAD}=45°$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $\mathit{BD}=\mathit{mAC}$ 时， $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60°$ ， $30°$ ， $15°$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 重合，得到折痕 $\mathit{EF}$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $\mathit{EF}$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $\mathit{BM}$ ，同时得到线段 $\mathit{BN}$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $\mathit{\Delta BMP}$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{BC}=b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $\mathit{BMP}$ ？

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

（本小题满分9分）如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上,DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．

（1）点M的坐标是（        ，        ），DE=        ；
（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE,P为FG的中点，Q为GH的中点,F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．
（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？