初中数学解直角三角形试题

已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β=       ．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

小锋家有一块四边形形状的空地（如图，四边形ABCD），其中AD∥BC，BC=1.6m，AD=5.5m，CD=5.2m，∠C=90°，∠A=53°．小锋的爸爸想买一辆长4.9m，宽1.9m的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．
小锋设计了两种方案，如图1和图2所示．

（1）请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；
（2）请你利用图3再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由．
（参考数据：sin53°=0.8，cos53°=0.6，tan53°=）

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径． $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦，弦 $\mathit{ED}$垂直 $\mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{ED}$的延长线于点 $P$

（1）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PG}$；

（2）判断 $P{G}^2=\mathit{PD}\cdot \mathit{PE}$是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$为 $\mathit{BC}$中点， $\mathit{OG}=\sqrt{5}$， $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB=，DF⊥BC于F，∠CDF=．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0．1米，参考数据：sin≈0．52,cos≈0．86,tan≈0．60）

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，菱形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴正半轴上，点 $B$， $C$在第一象限， $\angle C=120°$，边长 $\mathit{OA}=8$．点 $M$从原点 $O$出发沿 $x$轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点 $N$从 $A$出发沿边 $\mathit{AB}-\mathit{BC}-\mathit{CO}$以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点 $M$作直线 $\mathit{MP}$垂直于 $x$轴并交折线 $\mathit{OCB}$于 $P$，交对角线 $\mathit{OB}$于 $Q$，点 $M$和点 $N$同时出发，分别沿各自路线运动，点 $N$运动到原点 $O$时， $M$和 $N$两点同时停止运动．

（1）当 $t=2$时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（2）求 $t$为何值时，点 $P$与 $N$重合；

（3）设 $\mathit{\Delta APN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式及 $t$的取值范围．

如图，一侧面为矩形的建筑物ABCD，AP为建筑物上一灯杆（垂直于地面），夜晚灯杆顶端灯亮时，EH段是建筑物在斜坡EF上的影子．己知BC=8米，AP=12米，CE=6米，斜坡EF的坡角∠FEG=30°，EH=4米，且B，C，E，G在同一水平线上，题中涉及的各点均在同一平面内，求建筑物的高度AB（结果保留根号）．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 $2)$ ，则图1中所标注的 $d$ 的值为 　　；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　　．

已知在 $\mathit{\Delta ACD}$ 中， $P$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $B$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上的一点，连结 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AP}=\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{AP}$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{CAD}=45°$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $\mathit{BD}=\mathit{mAC}$ 时， $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60°$ ， $30°$ ， $15°$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 重合，得到折痕 $\mathit{EF}$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $\mathit{EF}$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $\mathit{BM}$ ，同时得到线段 $\mathit{BN}$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $\mathit{\Delta BMP}$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{BC}=b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $\mathit{BMP}$ ？

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

（本小题满分9分）如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上,DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．

（1）点M的坐标是（        ，        ），DE=        ；
（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE,P为FG的中点，Q为GH的中点,F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．
（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？