如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径． $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦，弦 $\mathit{ED}$垂直 $\mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{ED}$的延长线于点 $P$

（1）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PG}$；

（2）判断 $P{G}^2=\mathit{PD}\cdot \mathit{PE}$是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$为 $\mathit{BC}$中点， $\mathit{OG}=\sqrt{5}$， $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．