初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{DCA}=\angle \mathit{ABC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{DC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{OD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{BE}=3$ ，求 $\mathit{DA}$ 的长．

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}$ 垂直于射线 $\mathit{CD}$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{EF}=\mathit{BE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta CBE}$ ；

（2）如图2，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EF}$ 的中点，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{MN}$ 、 $\mathit{PN}$ ．求 $\angle \mathit{PMN}$ 的度数及 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{PM}}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{BC}=\sqrt{2}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta PMN}$ 面积的最大值．

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．已知 $\mathit{AD}=a$ ， $\mathit{BD}=b(0<a<b)$ ．

①分别求线段 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $\mathit{CE}$ 　 　 $\mathit{CD}$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p=m+n$ ， $q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ ，记 $l=\frac{1}{4}\mathit{pq}$ ．

①当 $m=1$ ， $n=2$ 时， $l=$ 　　；当 $m=3$ ， $n=3$ 时， $l=$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是 　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 上一动点（不包括端点）， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $\mathit{AD}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $\mathit{EB}$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $\mathit{EC}$ 与 $\mathit{EB}$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $\mathit{AC}=\mathit{xcm}$ ， $\mathit{EC}=y_1\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=y_2\mathit{cm}$ ．请你一起参与探究函数 $y_1$ 、 $y_2$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_1$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_2$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x=3$ 时， $y_1=$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_2$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $\mathit{AC}$ 取某值时，有 $\mathit{EC}=\mathit{EB}$ "．如图3，牛牛连结了 $\mathit{OE}$ ，尝试通过计算 $\mathit{EC}$ ， $\mathit{EB}$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图， AB是⊙ O的直径，点 F在⊙ O上，∠ BAF的平分线 AE交⊙ O于点 E，过点 E作 $\mathit{ED}\perp \mathit{AF}$ ，交 AF的延长线于点 D，延长 DE、 AB相交于点 C．

（1）求证： CD是⊙ O的切线；

（2）若⊙ O的半径为5， $\tan \angle \mathit{EAD}=\frac{1}{2}$ ，求 BC的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta DEF}$ 都是等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ， $\angle \mathit{EDF}=90°$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边中点，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $A$ 、 $F$ 、 $E$ 三点恰好在一条直线上， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）猜想 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BF}$ ， $\mathit{BC}$ 之间的数量关系，并证明；

（3）若 $\mathit{CH}=2$ ， $\mathit{AH}=4$ ，请写出线段 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AE}$ 的长．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上的两点，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值为 　　；

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=7$ ， $\mathit{CD}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 上的一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BD}$ ，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{BD}$ ，则 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=\angle B=90°$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{DE}$ 的垂线交 $\mathit{ED}$ 的延长线于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{AB}=\mathit{CF}\cdot \mathit{AD}$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{AD}=9$ ， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$ ，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $\mathit{\Delta CBD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ．

①求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值；

②连接 $\mathit{BF}$ ，若 $\mathit{AE}=1$ ，写出 $\mathit{BF}$ 的长度．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{BCD}$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AE}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，作 $\mathit{CF}//\mathit{AD}$ 交线段 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta EAD}$ ；

（2）如图2．若 $\mathit{AB}=9$ ， $\mathit{CD}=5$ ， $\angle \mathit{ECF}=\angle \mathit{AED}$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BF}$ 的延长线经过 $\mathit{AD}$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．