初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 边上一点，连结 $\mathit{BE}$ ，以 $\mathit{BE}$ 为对角线作正方形 $\mathit{BGEF}$ ，边 $\mathit{EF}$ 与正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 相交于点 $H$ ，连结 $\mathit{AF}$ ，有以下五个结论：

① $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{DBE}$ ；

② $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta DBE}$ ；

③ $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ；

④ $2B{G}^2=\mathit{BH}\cdot \mathit{BD}$ ；

⑤若 $\mathit{CE}:\mathit{DE}=1:3$ ，则 $\mathit{BH}:\mathit{DH}=17:16$ ．

你认为其中正确是 　　．（填写序号）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，且 $\mathit{AD}=3\mathit{BD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并取 $\mathit{CD}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，若 $\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{BED}=45°$ ，且 $\mathit{CD}=6\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\odot O$与 $\mathit{AB}$相交于点 $C$，与 $\mathit{AO}$相交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，已知 $\angle \mathit{AOC}=2\angle \mathit{ACE}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AO}=20$， $\mathit{BO}=15$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 边长为1， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，以点 $D$ 为中心，将 $\mathit{\Delta DAE}$ 按逆时针方向旋转得 $\mathit{\Delta DCF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，分别交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DN}}=\frac{2}{5}$ ，则 $\sin \angle \mathit{EDM}=$ 　　．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径． $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦，弦 $\mathit{ED}$垂直 $\mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{ED}$的延长线于点 $P$

（1）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PG}$；

（2）判断 $P{G}^2=\mathit{PD}\cdot \mathit{PE}$是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$为 $\mathit{BC}$中点， $\mathit{OG}=\sqrt{5}$， $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，交 $\odot O$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{EB}$ ，作 $\angle \mathit{BEF}=\angle \mathit{CAE}$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=10$ ， $\mathit{EF}=20$ ，求 $\odot O$ 的半径和 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=15$ ， $\mathit{BC}=20$ ，把边 $\mathit{AB}$ 沿对角线 $\mathit{BD}$ 平移，点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ 分别对应点 $A$ ， $B$ 给出下列结论：

①顺次连接点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C$ ， $D$ 的图形是平行四边形；

②点 $C$ 到它关于直线 $\mathit{AA}\text{'}$ 的对称点的距离为48；

③ $A\text{'}C-B\text{'}C$ 的最大值为15；

④ $A\text{'}C+B\text{'}C$ 的最小值为 $9\sqrt{17}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 上一动点（不包括端点）， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $\mathit{AD}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $\mathit{EB}$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $\mathit{EC}$ 与 $\mathit{EB}$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $\mathit{AC}=\mathit{xcm}$ ， $\mathit{EC}=y_1\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=y_2\mathit{cm}$ ．请你一起参与探究函数 $y_1$ 、 $y_2$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_1$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_2$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x=3$ 时， $y_1=$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_2$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $\mathit{AC}$ 取某值时，有 $\mathit{EC}=\mathit{EB}$ "．如图3，牛牛连结了 $\mathit{OE}$ ，尝试通过计算 $\mathit{EC}$ ， $\mathit{EB}$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{\Delta BEC}$ 与 $\mathit{\Delta FEC}$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，点 $B$ 的对称点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $G$ 为 $\mathit{CD}$ 中点，连结 $\mathit{BG}$ 分别与 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CF}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．若 $\mathit{BM}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{MG}=1$ ，则 $\mathit{BN}$ 的长为 　　， $\sin \angle \mathit{AFE}$ 的值为 　　．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\angle \mathit{ACF}=\angle B$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{FC}=4$， $\mathit{FA}=2$，求 $\mathit{AD}\cdot \mathit{AE}$的值．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{AD}=4$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，求 $\mathit{HF}$的长．