如图,抛物线 经过 , 两点,交 轴于点 ,点 为抛物线的顶点,连接 ,点 为 的中点.请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标;
(2)在 轴上找一点 ,使 的值最小,则 的最小值为 .
(注:抛物线 的对称轴是直线 ,顶点坐标为 ,
如图,抛物线 与坐标轴分别交于点 , , 三点,其中 , ,点 在 轴上, ,过点 作 轴交抛物线于点 ,点 , 分别是线段 , 上的动点,且 ,连接 , , .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)当 是直角三角形时,求点 的坐标;
(3)试求出 的最小值.
如图,在正方形 中,点 , 分别是边 , 的中点,连接 ,过点 作 ,垂足为 , 的延长线交 于点 .
(1)猜想 与 的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点 作 ,分别交 , 于点 , ,若正方形 的边长为10,点 是 上一点,求 周长的最小值.
如图,直线 、 为常数)分别与 轴、 轴交于点 、 ,抛物线 与 轴交于点 .
(1)求直线 的函数解析式;
(2)若点 是抛物线 上的任意一点,设点 到直线 的距离为 ,求 关于 的函数解析式,并求 取最小值时点 的坐标;
(3)若点 在抛物线 的对称轴上移动,点 在直线 上移动,求 的最小值.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的边 交 轴于点 , 轴,反比例函数 的图象经过点 ,点 的坐标为 , .
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点 为 轴上一动点,当 的值最小时,求出点 的坐标.
如图,在平面直角坐标系中有三点 , , ,其中有两点同时在反比例函数 的图象上,将这两点分别记为 , ,另一点记为 .
(1)求出 的值;
(2)求直线 对应的一次函数的表达式;
(3)设点 关于直线 的对称点为 , 是 轴上的一个动点,直接写出 的最小值(不必说明理由).
反比例函数 为常数,且 的图象经过点 、 .
(1)求反比例函数的解析式及 点的坐标;
(2)在 轴上找一点 ,使 的值最小,求满足条件的点 的坐标.
如图,以 为顶点的抛物线 交 轴于 、 两点,交 轴于点 ,直线 的表达式为 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线 上有一点 ,使 的值最小,求点 的坐标;
(3)在 轴上是否存在一点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,点 的坐标为 ,抛物线 经过 , , 三点,抛物线的顶点为点 ,对称轴与 轴的交点为点 ,点 关于原点的对称点为 ,连接 ,以点 为圆心, 的长为半径作圆,点 为直线 上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求 周长的最小值;
(3)若动点 与点 不重合,点 为 上的任意一点,当 的最大值等于 时,过 , 两点的直线与抛物线交于 , 两点(点 在点 的左侧),求四边形 的面积.
如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ ABC的三个顶点的坐标分别为 A(﹣1,3), B(﹣4,0), C(0,0)
(1)画出将△ ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△ A 1 B 1 C 1;
(2)画出将△ ABC绕原点 O顺时针方向旋转90°得到△ A 2 B 2 O;
(3)在 x轴上存在一点 P,满足点 P到 A 1与点 A 2距离之和最小,请直接写出 P点的坐标.
如图,在四边形 ABCD中,∠ B=∠ C=90°, AB> CD, AD= AB+ CD.
(1)利用尺规作∠ ADC的平分线 DE,交 BC于点 E,连接 AE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,
①证明: AE⊥ DE;
②若 CD=2, AB=4,点 M, N分别是 AE, AB上的动点,求 BM+ MN的最小值.
如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.
如图,已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.
(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;
(2)当x+b<时,请直接写出x的取值范围.
如图①,要在一条笔直的路边上建一个燃气站,向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.
(1)如图②,作出点关于的对称点,线段与直线的交点的位置即为所求,即在点处建燃气站,所得路线是最短的.
为了证明点的位置即为所求,不妨在直线1上另外任取一点,连接、,证明.请完成这个证明.
(2)如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域,位置如图③所示;
②生态保护区是圆形区域,位置如图④所示.