如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DF}$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{DF}$，垂足为 $H$， $\mathit{EH}$的延长线交 $\mathit{DC}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{DG}$与 $\mathit{CF}$的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点 $H$作 $\mathit{MN}//\mathit{CD}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $M$， $N$，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为10，点 $P$是 $\mathit{MN}$上一点，求 $\mathit{\Delta PDC}$周长的最小值．