如图，在矩形OABC中，AB2，BC4，点D是边AB的中点，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在矩形 $OABC$ 中， $AB = 2$ ， $BC = 4$ ，点 $D$ 是边 $AB$ 的中点，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $D$ ，交 $BC$ 边于点 $E$ ，直线 $DE$ 的解析式为 $y_{2} = mx + n (m \neq 0)$ ．

（1）求反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的解析式和直线 $DE$ 的解析式；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $ΔPDE$ 的周长最小，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下， $ΔPDE$ 的周长最小值是　　．

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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上， $ED ⊥ AB$ 于点 $D$ ，若 $BC = ED$ ，求证： $CE = DB$ ．

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先化简，再求值： $(2 a - \frac{12 a}{a + 2}) \div \frac{a - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ ．

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计算： $2^{- 1} + | \sqrt{6} - 3 | + 2 \sqrt{3} \sin 45 ° - {(- 2)}^{2020} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2020}$ ．

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如图1，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $BE$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $DE$ 、 $BE$ 、 $BC$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $NM$ 、 $NP$ 的数量关系是　　， $∠ MNP$ 的大小为　　．

（2）探究证明

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $MP$ 、 $BD$ 、 $CE$ ，判断 $ΔMNP$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 1$ ， $AB = 3$ ，请求出 $ΔMNP$ 面积的最大值．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 ax - 4 a$ 的图象经过点 $C (0, 2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $BC$ ，直线 $y = kx + 1 (k > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $BC$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $BC$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{EF}{DF}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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