如图，在矩形$\mathit{OABC}$中，$\mathit{AB}=2$，$\mathit{BC}=4$，点$D$是边$\mathit{AB}$的中点，反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点$D$，交$\mathit{BC}$边于点$E$，直线$\mathit{DE}$的解析式为$y_2=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$．

（1）求反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x>0)$的解析式和直线$\mathit{DE}$的解析式；

（2）在$y$轴上找一点$P$，使$\mathit{\Delta PDE}$的周长最小，求出此时点$P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，$\mathit{\Delta PDE}$的周长最小值是　 　．