如图,直线 、 为常数)分别与 轴、 轴交于点 、 ,抛物线 与 轴交于点 .
(1)求直线 的函数解析式;
(2)若点 是抛物线 上的任意一点,设点 到直线 的距离为 ,求 关于 的函数解析式,并求 取最小值时点 的坐标;
(3)若点 在抛物线 的对称轴上移动,点 在直线 上移动,求 的最小值.
如图,直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,点 的坐标为 ,抛物线 经过 , , 三点,抛物线的顶点为点 ,对称轴与 轴的交点为点 ,点 关于原点的对称点为 ,连接 ,以点 为圆心, 的长为半径作圆,点 为直线 上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求 周长的最小值;
(3)若动点 与点 不重合,点 为 上的任意一点,当 的最大值等于 时,过 , 两点的直线与抛物线交于 , 两点(点 在点 的左侧),求四边形 的面积.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点, 点坐标为 .与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 在 轴下方的抛物线上,过点 的直线 与直线 交于点 ,与 轴交于点 ,求 的最大值;
(3)点 为抛物线对称轴上一点.
①当 是以 为直角边的直角三角形时,求点 的坐标;
②若 是锐角三角形,求点 的纵坐标的取值范围.
如图,抛物线 与坐标轴分别交于点 , , 三点,其中 , ,点 在 轴上, ,过点 作 轴交抛物线于点 ,点 , 分别是线段 , 上的动点,且 ,连接 , , .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)当 是直角三角形时,求点 的坐标;
(3)试求出 的最小值.
如图①,要在一条笔直的路边上建一个燃气站,向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.
(1)如图②,作出点关于的对称点,线段与直线的交点的位置即为所求,即在点处建燃气站,所得路线是最短的.
为了证明点的位置即为所求,不妨在直线1上另外任取一点,连接、,证明.请完成这个证明.
(2)如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域,位置如图③所示;
②生态保护区是圆形区域,位置如图④所示.
如图,抛物线 ,经过点 , , 三点.
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标;
(2)连接 、 , 为抛物线上的点且在第四象限,当 时,求 点的坐标;
(3)在(2)问的条件下,过点 作直线 轴,动点 在直线 上,动点 在 轴上,连接 、 、 ,当 为何值时, 最小,并求出 的最小值.
如图,以 为顶点的抛物线 交 轴于 、 两点,交 轴于点 ,直线 的表达式为 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线 上有一点 ,使 的值最小,求点 的坐标;
(3)在 轴上是否存在一点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,菱形 的边长为1, ,点 是边 上任意一点(端点除外),线段 的垂直平分线交 , 分别于点 , , , 的中点分别为 , .
(1)求证: ;
(2)求 的最小值;
(3)当点 在 上运动时, 的大小是否变化?为什么?
如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.
在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于点 、 ,交 轴于点 ,点 为抛物线的顶点,对称轴与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接 ,点 是线段 上方抛物线上一动点, 于点 ,过点 作 轴于点 ,交 于点 .点 是 轴上一动点,当 取最大值时:
①求 的最小值;
②如图2, 点为 轴上一动点,请直接写出 的最小值.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,直线 过 、 两点,连接 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证: ;
(3)点 是抛物线上的一点,点 为抛物线上位于直线 上方的一点,过点 作 轴交直线 于点 ,点 为抛物线对称轴上一动点,当线段 的长度最大时,求 的最小值.
如图,抛物线过点,矩形的边在线段上(点在点的左侧),点、在抛物线上,的平分线交于点,点是的中点,已知,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)、分别为轴,轴上的动点,顺次连接、、、构成四边形,求四边形周长的最小值;
(3)在轴下方且在抛物线上是否存在点,使中边上的高为?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、,且直线平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .点 为抛物线 上的一个动点.过点 作 轴于点 ,交直线 于点 .
(1)求 、 的值;
(2)设点 在抛物线 的对称轴上,当 的周长最小时,直接写出点 的坐标;
(3)在第一象限,是否存在点 ,使点 到直线 的距离是点 到直线 的距离的5倍?若存在,求出点 所有的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 过点 , , ,其顶点为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点 ,当 的值最小时,求 的值;
(3)若 是抛物线上位于直线 上方的一个动点,求 的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线 相交于点 , 为直线 上任意一点,过点 作 交抛物线于点 ,以 , , , 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 的坐标;若不能,请说明理由.