初中数学弧长的计算解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，将矩形 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $\mathit{EH}$ 与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $P$ 时，求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $\mathit{CB}$ 的延长线上时， $\mathit{GH}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $\mathit{EF}$ 的垂直平分线上；

（3）当 $\mathit{AB}=5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $\mathit{AD}$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一点，且 $\mathit{AE}=1$ ，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图1．求 $\mathit{CF}$ 的长；

（2） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图2．在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $A$ 的运动过程中，求点 $F$ 所经过的路径长；

（3） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $M$ 是高 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BM}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BMN}$ ，如图3．在点 $M$ 从点 $C$ 到点 $D$ 的运动过程中，求点 $N$ 所经过的路径长；

（4）正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为3， $E$ 是边 $\mathit{CB}$ 上的一个动点，在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $B$ 的运动过程中，小亮以 $B$ 为顶点作正方形 $\mathit{BFGH}$ ，其中点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $\mathit{AE}$ 上，如图4．当点 $E$ 到达点 $B$ 时，点 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 与点 $B$ 重合．则点 $H$ 所经过的路径长为 　 　，点 $G$ 所经过的路径长为 　　．

将一物体（视为边长为 $\frac{2}{\pi }$ 米的正方形 $\mathit{ABCD})$ 从地面 $\mathit{PQ}$ 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $\mathit{EF}$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B$ （E）按逆时针方向旋转至正方形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$ 的位置，再将其沿 $\mathit{EF}$ 方向平移至正方形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ 的位置（此时点 $B_2$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $\mathit{MG}$ 上．已知 $\mathit{MG}//\mathit{PQ}$ ， $\angle \mathit{FBP}=30°$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{MG}$ 于点 $H$ ， $\mathit{FH}=\frac{1}{3}$ 米， $\mathit{EF}=4$ 米．

（1）求线段 $\mathit{FG}$ 的长度；

（2）求在此过程中点 $A$ 运动至点 $A_2$ 所经过的路程．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{ABO}=90°$ ， $\angle \mathit{OAB}=30°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 为半径的圆交 $\mathit{BO}$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{OA}$ 的平行线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 为 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$ ，求弧 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $O$是对角线 $\mathit{BD}$上一点 $(\mathit{BO}>\mathit{DO})$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，以 $\mathit{OE}$为半径的 $\odot O$分别交 $\mathit{DC}$于点 $H$，交 $\mathit{EO}$的延长线于点 $F$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{DC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $G$是 $\mathit{OF}$的中点， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{DG}=1$．

①求 $\stackrel{̂}{\mathit{HE}}$的长；

②求 $\mathit{AD}$的长．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $\mathit{\Delta ABO}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,3)$， $B(-4,3)$， $O(0,0)$．

（1）画出 $\mathit{\Delta ABO}$关于 $x$轴对称的△ $A_1{B}_{1}O$，并写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出 $\mathit{\Delta ABO}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到的△ $A_2{B}_{2}O$，并写出点 $A_2$的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点 $A$旋转到点 $A_2$所经过的路径长（结果保留 $\pi )$．

如图， $\odot O$的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_n(n$为 $1~12$的整数），过点 $A_7$作 $\odot O$的切线交 $A_1{A}_{11}$延长线于点 $P$．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\stackrel{̂}{A_7{A}_{11}}$长度哪个更长；

（2）连接 $A_7{A}_{11}$，则 $A_7{A}_{11}$和 $P{A}_1$有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P{A}_7$的值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle D=60°$，对角线 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\odot O$经过点 $A$， $B$，与 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{AO}$并延长与 $\odot O$交于点 $F$，与 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{EB}$．

（1）求证： $\mathit{EC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$的长（结果保留 $\pi )$．

如图， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的半径 $\mathit{OA}=2$， $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$于点 $C$， $\angle \mathit{AOC}=60°$．

（1）求弦 $\mathit{AB}$的长．

（2）求 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径，连结 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长．

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$外， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与 $\odot O$交于点 $D$， $\angle C=90°$．

（1） $\mathit{CD}$与 $\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{CDB}=60°$， $\mathit{AB}=6$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．