初中数学弧长的计算解答题

在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B$， $C$两点的坐标分别为 $(-3,0)$， $(-1,-1)$．

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$的坐标．

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕着坐标原点顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的△ $A\text{'}{B}^{\text{'}}C\text{'}$．

（3）接写出在上述旋转过程中，点 $A$所经过的路径长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$过点 $B$，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}=30°$， $\mathit{BC}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BCE}}$的长．（结果保留 $\pi )$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A(-4,4)$， $B(-2,5)$， $C(-2,1)$．

（1）平移 $\mathit{\Delta ABC}$，使点 $C$移到点 $C_1(-2,-4)$，画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$，并写出点 $A_1$， $B_1$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $(0,3)$旋转 $180°$，得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，画出旋转后的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

（3）求（2）中的点 $C$旋转到点 $C_2$时，点 $C$经过的路径长（结果保留 $\pi )$．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{CE}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长度．（结果保留 $\pi )$

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，且 $\mathit{AB}=4$，点 $C$在半圆上， $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $O$， $P$为半圆上任意一点（不与点 $C$重合），过 $P$点作 $\mathit{PE}\perp \mathit{OC}$于点 $E$，设 $\mathit{\Delta OPE}$的内心为 $M$，连接 $\mathit{OM}$、 $\mathit{PM}$．

（1）求 $\angle \mathit{OMP}$的度数；

（2）当点 $P$在半圆上从点 $B$运动到点 $A$时，求内心 $M$所经过的路径长．

如图所示，正方形网格中， $\mathit{\Delta ABC}$为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） $:$

①把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BA}$方向平移，请在网格中画出当点 $A$移动到点 $A_1$时的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

②把△ $A_1{B}_1{C}_1$绕点 $A_1$按逆时针方向旋转 $90°$后得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，如果网格中小正方形的边长为1，求点 $B_1$旋转到 $B_2$的路径长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）若 $\angle \mathit{AEB}=125°$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长（结果保留 $\pi )$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以点 $O$为圆心的圆分别交 $x$轴的正半轴于点 $M$，交 $y$轴的正半轴于点 $N$．劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{MN}}$的长为 $\frac{6}{5}\pi$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用 $\pi$表示）

如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$的长度（结果保留π）

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A₁B₁C₁，点B的对应点B₁的坐标是（1，2），再将△A₁B₁C₁绕原点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，点A₁的对应点为点A₂．

（1）画出△A₁B₁C₁；

（2）画出△A₂B₂C₂；

（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A₁到达A₂的路径总长．

如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且 $\mathit{CD}\parallel \mathit{AB}$，连接AC、AD、OD，其中 $\mathit{AC}＝\mathit{CD}$，过点B的切线交CD的延长线于E．

（1）求证：DA平分∠CDO；

（2）若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据： $\pi ＝3.1$， $\sqrt{2}=1.4,\mathrm{}\sqrt{3}=1.7$）．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝60°，∠ D＝30°， AB＝ BC．

（1）求∠ A+∠ C的度数；

（2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 AE ²＝ BE ²+ CE ²，求点 E运动路径的长度．

如图，四边形 ABCD中， MA＝ MC， MB＝ MD，以 AB为直径的圆 O过点 M且与 DC延长线相切于点 E．

（1）求证：四边形 ABCD是菱形；

（2）若 AB＝4，求 $\stackrel{⏜}{\mathit{BM}}$ 的长（结果请保留π）

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．

（Ⅰ）若AB=4，求 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长；

（Ⅱ）若 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}=\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．