如图1,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,点 是线段 上一动点 .以点 为圆心, 长为半径作 交 轴于另一点 ,交线段 于点 ,连接 并延长交 于点 .
(1)求直线 的函数表达式和 的值;
(2)如图2,连接 ,当 时,
①求证: ;
②求点 的坐标;
(3)当点 在线段 上运动时,求 的最大值.
如图,已知线段 , 于点 ,且 , 是射线 上一动点, , 分别是 , 的中点,过点 , , 的圆与 的另一交点 (点 在线段 上),连接 , .
(1)当 时,求 和 的度数;
(2)求证: .
(3)在点 的运动过程中
①当 时,取四边形 一边的两端点和线段 上一点 ,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且 为锐角顶点,求所有满足条件的 的值;
②记 与圆的另一个交点为 ,将点 绕点 旋转 得到点 ,当点 恰好落在 上时,连接 , , , ,直接写出 和 的面积之比.
如图,已知 内接于 ,点 在劣弧 上(不与点 , 重合),点 为弦 的中点, , 与 的延长线交于点 ,射线 与射线 交于点 ,与 交于点 ,设 , , ,
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
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猜想: 关于 的函数表达式, 关于 的函数表达式,并给出证明;
(2)若 , , 的面积为 的面积的4倍,求 半径的长.
如图所示, 是 的直径, 为 延长线上的一点, 切 于点 , ,垂足为 ,弦 平分 ,交 于点 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)若 , ,求线段 的长.
如图, 是
的直径,
,
,连接
.
(1)求证: ;
(2)若直线 为
的切线,
是切点,在直线
上取一点
,使
,
所在的直线与
所在的直线相交于点
,连接
.
①试探究 与
之间的数量关系,并证明你的结论;
② 是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
如图,点 C为△ ABD的外接圆上的一动点(点 C不在 上,且不与点 B, D重合),∠ ACB=∠ ABD=45°
(1)求证: BD是该外接圆的直径;
(2)连结 CD,求证: ;
(3)若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM,连接 DM,试探究 DM 2, AM 2, BM 2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
如图,已知 , 是 的平分线, 是射线 上一点, .动点 从点 出发,以 的速度沿 水平向左作匀速运动,与此同时,动点 从点 出发,也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动.连接 ,交 于点 .经过 、 、 三点作圆,交 于点 ,连接 、 .设运动时间为 ,其中 .
(1)求 的值;
(2)是否存在实数 ,使得线段 的长度最大?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
(3)求四边形 的面积.
如图1,的三个顶点
、
、
分别落在抛物线
的图象上,点
的横坐标为
,点
的纵坐标为
.(点
在点
的左侧)
(1)求点、
的坐标;
(2)将绕点
逆时针旋转
得到△
,抛物线
经过
、
两点,已知点
为抛物线
的对称轴上一定点,且点
恰好在以
为直径的圆上,连接
、
,求△
的面积;
(3)如图2,延长交抛物线
于点
,连接
,在坐标轴上是否存在点
,使得以
、
、
为顶点的三角形与△
相似.若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,顶点为的抛物线
与
轴交于
,
两点,与
轴交于点
,过点
作
轴交抛物线于另一点
,作
轴,垂足为点
,双曲线
经过点
,连接
,
.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点,
分别是
轴,
轴上的两点,当以
,
,
,
为顶点的四边形周长最小时,求出点
,
的坐标;
(3)动点从点
出发,以每秒1个单位长度的速度沿
方向运动,运动时间为
秒,当
为何值时,
的度数最大?(请直接写出结果)
(1)方法选择
如图①,四边形是
的内接四边形,连接
,
,
.求证:
.
小颖认为可用截长法证明:在上截取
,连接
小军认为可用补短法证明:延长至点
,使得
请你选择一种方法证明.
(2)类比探究
[探究1]
如图②,四边形是
的内接四边形,连接
,
,
是
的直径,
.试用等式表示线段
,
,
之间的数量关系,并证明你的结论.
[探究2]
如图③,四边形是
的内接四边形,连接
,
.若
是
的直径,
,则线段
,
,
之间的等量关系式是
.
(3)拓展猜想
如图④,四边形是
的内接四边形,连接
,
.若
是
的直径,
,则线段
,
,
之间的等量关系式是 .
如图,抛物线过点
,且与直线
交于
、
两点,点
的坐标为
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为抛物线上位于直线
上方的一点,过点
作
轴交直线
于点
,点
为对称轴上一动点,当线段
的长度最大时,求
的最小值;
(3)设点为抛物线的顶点,在
轴上是否存在点
,使
?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在以点为中心的正方形
中,
,连接
,动点
从点
出发沿
以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点
停止.在运动过程中,
的外接圆交
于点
,连接
交
于点
,连接
,将
沿
翻折,得到
.
(1)求证:是等腰直角三角形;
(2)当点恰好落在线段
上时,求
的长;
(3)设点运动的时间为
秒,
的面积为
,求
关于时间
的关系式.
如图1,经过等边
的顶点
,
(圆心
在
内),分别与
,
的延长线交于点
,
,连结
,
交
于点
.
(1)求证:.
(2)当,
时,求
的长.
(3)设,
.
①求关于
的函数表达式;
②如图2,连结,
,若
的面积是
面积的10倍,求
的值.
已知是
的直径,
是
的切线,
是
上的点,
,
是直径
上的动点,
与直线
上的点连线距离的最小值为
,
与直线
上的点连线距离的最小值为
.
(1)求证:是
的切线;
(2)设,求
的正弦值;
(3)设,
,求
的取值范围.