初中数学圆解答题

如图， $C$、 $D$是半圆 $O$上的三等分点，直径 $\mathit{AB}=4$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求 $\angle \mathit{AFE}$的度数；

（2）求阴影部分的面积（结果保留 $\pi$和根号）．

如图，已知 $\odot O$的直径 $\mathit{CD}=6$， $A$， $B$为圆周上两点，且四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，过 $A$点作直线 $\mathit{EF}//\mathit{BD}$，分别交 $\mathit{CD}$， $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$， $F$， $\mathit{AO}$与 $\mathit{BD}$交于 $G$点．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，过点 $C$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{OD}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{BE}$与 $\odot O$相切；

（2）设 $\mathit{OE}$交 $\odot O$于点 $F$，若 $\mathit{DF}=1$， $\mathit{BC}=2\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．

如图，点 $A$是 $\odot O$直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$在 $\odot O$上， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为2，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$上一点，且 $\angle \mathit{BDE}=\angle \mathit{CBE}$， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABE}$，求证： $D{E}^2=\mathit{DF}\cdot \mathit{DB}$；

（3）在（2）的条件下，延长 $\mathit{ED}$、 $\mathit{BA}$交于点 $P$，若 $\mathit{PA}=\mathit{AO}$， $\mathit{DE}=2$，求 $\mathit{PD}$的长．

如图所示，正方形网格中， $\mathit{\Delta ABC}$为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） $:$

①把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BA}$方向平移，请在网格中画出当点 $A$移动到点 $A_1$时的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

②把△ $A_1{B}_1{C}_1$绕点 $A_1$按逆时针方向旋转 $90°$后得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，如果网格中小正方形的边长为1，求点 $B_1$旋转到 $B_2$的路径长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$在 $\mathit{BA}$的延长线上，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，且 $P{C}^2=\mathit{PE}\cdot \mathit{PO}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{OE}:\mathit{EA}=1:2$， $\mathit{PA}=6$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为直径， $D$、 $E$为圆上两点， $C$为圆外一点，且 $\angle E+\angle C=90°$．

（1）求证： $\mathit{BC}$为 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin A=\frac{3}{5}$， $\mathit{BC}=6$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=8$．

（1）利用尺规，作 $\angle \mathit{CAB}$的平分线，交 $\odot O$于点 $D$；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{OD}$，若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$，求 $\angle B$的度数；

（3）在（2）的条件下， $\mathit{OD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，求由线段 $\mathit{ED}$， $\mathit{BE}$， $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$所围成区域的面积．（其中 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$表示劣弧，结果保留 $\pi$和根号）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{AC}$上一点，且 $\mathit{CD}=\mathit{CB}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$，交 $\mathit{BD}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，过 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$， $\angle \mathit{BCD}=2\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=60°$， $\mathit{DF}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$的长．

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图，在 $\odot O$中， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CB}}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$于 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{OB}$于 $E$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$．