初中数学圆解答题

已知：如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，点 $E$为 $\mathit{CD}$边上一点， $\mathit{AE}$与 $\mathit{BE}$分别为 $\angle \mathit{DAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的平分线．

（1）请你添加一个适当的条件　　，使得四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，并证明你的结论；

（2）作线段 $\mathit{AB}$的垂直平分线交 $\mathit{AB}$于点 $O$，并以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下， $\odot O$交边 $\mathit{AD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，交 $\mathit{AE}$于点 $G$，若 $\mathit{AE}=4$， $\sin \angle \mathit{AGF}=\frac{4}{5}$，求 $\odot O$的半径．

已知：如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=4$，点 $F$， $C$是 $\odot O$上两点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{FAB}$， $\angle \mathit{BOC}=60°$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{AF}$的延长线于点 $D$，垂足为点 $D$．

（1）求扇形 $\mathit{OBC}$的面积（结果保留 $\pi )$；

（2）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{CE}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长度．（结果保留 $\pi )$

已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$是 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的弦， $\angle \mathit{AEC}=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$， $\odot O$的半径为4，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知 $\odot O$是等边三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆，点 $D$在圆上，在 $\mathit{CD}$的延长线上有一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DA}$， $\mathit{AE}//\mathit{BC}$交 $\mathit{CF}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{EA}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$．

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $C$， $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$分别交 $\odot O$于点 $D$， $E$， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$

（1）求证： $\mathit{OA}=\mathit{OB}$；

（2）已知 $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$， $\mathit{OA}=4$，求阴影部分的面积．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$相交于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）分别延长 $\mathit{CB}$， $\mathit{FD}$，相交于点 $G$， $\angle A=60°$， $\odot O$的半径为6，求阴影部分的面积．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CD}=4$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图所示，直线 $\mathit{DP}$和圆 $O$相切于点 $C$，交直径 $\mathit{AE}$的延长线于点 $P$．过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，交 $\mathit{AE}$于点 $F$，交圆 $O$于点 $B$．作平行四边形 $\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DO}$， $\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）求 $\angle P$及 $\angle \mathit{AEB}$的大小．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{OE}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$．

（1）若 $\angle \mathit{BCD}=36°$， $\mathit{BC}=10$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长；

（2）判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（3）求证： $2C{E}^2=\mathit{AB}·\mathit{EF}$．

如图，已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$为 $\mathit{BC}$延长线上的一点，点 $A$为圆上一点，且 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta BAD}$；

（2）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BD}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$．

（1） $E$为 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3\mathit{CD}$，求 $\angle A$的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{OA}$是 $\odot O$的半径，且 $\mathit{OA}=3$．

（1）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{OAD}$；

（2）若点 $E$是优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AEB}}$上一点，且 $\angle \mathit{AEB}=60°$，求扇形 $\mathit{OAB}$的面积．（计算结果保留 $\pi )$

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于 $C$， $\mathit{BE}//\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\angle \mathit{ABE}$的平分线；

（2）若 $\mathit{DC}=8$， $\odot O$的半径 $\mathit{OA}=6$，求 $\mathit{CE}$的长．