初中数学四边形综合题试题

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ ，试猜想 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BF}$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿着 $\mathit{BF}(F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C\text{'}$ ，连接 $\mathit{DC}\text{'}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ，请判断 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{BG}$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，使 $A\text{'}B\perp \mathit{CD}$ 于点 $H$ ，折痕交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $A\text{'}M$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为20，边长 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\mathit{BHNM})$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$分别平分 $\angle \mathit{ADC}$， $\angle \mathit{ABC}$，并交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$（点 $E$， $B$不重合）．在线段 $\mathit{BF}$上取点 $M$， $N$（点 $M$在 $\mathit{BN}$之间），使 $\mathit{BM}=2\mathit{FN}$．当点 $P$从点 $D$匀速运动到点 $E$时，点 $Q$恰好从点 $M$匀速运动到点 $N$．记 $\mathit{QN}=x$， $\mathit{PD}=y$，已知 $y=-\frac{6}{5}x+12$，当 $Q$为 $\mathit{BF}$中点时， $y=\frac{24}{5}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\mathit{BF}$的位置关系，并说明理由．

（2）求 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$的长．

（3）若 $\mathit{AD}=6$．

①当 $\mathit{DP}=\mathit{DF}$时，通过计算比较 $\mathit{BE}$与 $\mathit{BQ}$的大小关系．

②连结 $\mathit{PQ}$，当 $\mathit{PQ}$所在直线经过四边形 $\mathit{ABCD}$的一个顶点时，求所有满足条件的 $x$的值．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，动点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $B$的对应点 $M$始终落在边 $\mathit{AD}$上（点 $M$不与点 $A$、 $D$重合），点 $C$落在点 $N$处， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CD}$交于点 $P$，设 $\mathit{BE}=x$．

（1）当 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}$时，求 $x$的值；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AD}$上位置的变化， $\mathit{\Delta PDM}$的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形 $\mathit{BEFC}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数表达式，并求出 $S$的最小值．

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发沿折线段 $\mathit{AD}-\mathit{DE}$向点 $E$运动，运动的时间为 $t(0⩽t⩽6)$秒，设 $\mathit{\Delta BPE}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$运动的过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$是以 $\mathit{BE}$为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．