初中数学矩形的判定试题

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$所在直线折叠，使点 $A$落在 $\mathit{BD}$上的点 $M$处，点 $C$落在 $\mathit{BD}$上的点 $N$处，连结 $\mathit{EF}$．已知 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{EF}$的长为 $($　　 $)$

A．3B．5C． $\frac{5\sqrt{13}}{6}$D． $\sqrt{13}$

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

如图，点 $C$ 是 $\mathit{BE}$ 的中点，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是平行四边形；

（2）如果 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$ ，求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是矩形．

对于 $▱\mathit{ABCD}$，从以下五个关系式中任取一个作为条件：① $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；② $\angle \mathit{BAD}=90°$；③ $\mathit{AC}=\mathit{BD}$；④ $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$；⑤ $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$，能判定 $▱\mathit{ABCD}$是矩形的概率是　　．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta BCD}$中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{BCD}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$．延长 $\mathit{CA}$至点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{AC}$；延长 $\mathit{CB}$至点 $F$，使 $\mathit{BF}=\mathit{BC}$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$．延长 $\mathit{DB}$交 $\mathit{EF}$于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{AF}$；

（2）求证： $\mathit{BD}=\mathit{EF}$；

（3）试判断四边形 $\mathit{ABNE}$的形状，并说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $P$是 $\mathit{AB}$上一动点（不与 $A$、 $B$重合），对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $P$分别作 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$的垂线，分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$于点 $E$、 $F$，交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于点 $M$、 $N$．下列结论：

① $\mathit{\Delta APE}\cong \mathit{\Delta AME}$；

② $\mathit{PM}+\mathit{PN}=\mathit{AC}$；

③ $P{E}^2+P{F}^2=P{O}^2$；

④ $\mathit{\Delta POF}\backsim \mathit{\Delta BNF}$；

⑤点 $O$在 $M$、 $N$两点的连线上．

其中正确的是 $($　　 $)$

A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $l$，交 $\mathit{AC}$于点 $O$；

②连接 $\mathit{BO}$并延长，在 $\mathit{BO}$的延长线上截取 $\mathit{OD}$，使得 $\mathit{OD}=\mathit{OB}$；

③连接 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DC}$

（2）判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$． $E$， $F$是 $\mathit{AC}$上的两点，并且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOE}\cong \mathit{\Delta BOF}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\mathit{EF}$，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{DF}$，判断四边形 $\mathit{EBFD}$的形状，并说明理由．

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图，等腰 $\mathit{\Delta AOB}$ 中，顶角 $\angle \mathit{AOB}=40°$ ，用尺规按①到④的步骤操作：

①以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径画圆；

②在 $\odot O$ 上任取一点 $P$ （不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $\mathit{AP}$ ；

③作 $\mathit{AB}$ 的垂直平分线与 $\odot O$ 交于 $M$ ， $N$ ；

④作 $\mathit{AP}$ 的垂直平分线与 $\odot O$ 交于 $E$ ， $F$ ．

结论Ⅰ：顺次连接 $M$ ， $E$ ， $N$ ， $F$ 四点必能得到矩形；

结论Ⅱ： $\odot O$ 上只有唯一的点 $P$ ，使得 $S_{\mathit{扇形}\mathit{FOM}}=S_{\mathit{扇形}\mathit{AOB}}$ ．

对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

A．

Ⅰ和Ⅱ都对

B．

Ⅰ和Ⅱ都不对

C．

Ⅰ不对Ⅱ对

D．

Ⅰ对Ⅱ不对

下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是 $($　　 $)$

A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②

下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有 $($　　 $)$个．

A．4B．3C．2D．1

如图所示，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$．

（1）求证：平行四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形．