初中数学三角形综合题试题

如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是　    　．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接．则下列结论中：

①；

②；

③；

④；

⑤若平分，则；

⑥，

正确的有　　．（只填序号）

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$（点 $E$与点 $C$不重合），点 $F$为 $\mathit{AC}$上一点，点 $G$为 $\mathit{AB}$上一点（点 $G$与点 $A$不重合），且 $\angle \mathit{GEF}+\angle \mathit{BAC}=180°$．

（1）如图1，当 $\angle B=45°$时，线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $\angle B=30°$时，猜想线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DG}=1$， $\cos B=\frac{3}{4}$，请直接写出 $\mathit{CF}$的长．

性质探究

如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形中，，在边，上分别取中点，，连接．若，，求线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含的式子表示）

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

在中，，，是上一点，连接．

（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．

（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点．

①如图2，若，求证：．

②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示）

如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．

（1）求证：；

（2）设，请用含的式子表示，并求的最大值；

（3）当时，的取值范围为，分别直接写出，的值．

如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．

（1）求证：；

（2）当时，求的度数；

（3）若的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围．

（年云南省昆明市）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为     ．

（1）探索发现

如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　 　；

②、、三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．

①判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若，的面积为2，直接写出四边形的面积．

（1）问题发现

如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：

①的值为　　；

②的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，分别以 $\mathit{CD}$和 $\mathit{AD}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADF}$，使 $\angle \mathit{DCE}=\angle \mathit{ADF}=90°$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BC}$下方，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图1，当 $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=\mathit{AD}$时，

求证：① $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CDF}$，② $\mathit{BD}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=2\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=2\mathit{AD}$时，猜想 $\mathit{BD}$和 $\mathit{EF}$之间的数量关系？并说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}>\mathit{AC}$，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{DE}$， $\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{ADE}=180°$，作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$．

（1）如图 $a$，当 $\angle \mathit{ACB}=90°$时，连接 $\mathit{CD}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．

①求证： $\mathit{FA}=\mathit{DE}$；

②请猜想三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图 $b$，当 $\angle \mathit{ACB}=120°$时，三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．