性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB120°，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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性质探究

如图（1），在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 120 °$ ，则底边 $AB$ 与腰 $AC$ 的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120 °$ 的等腰三角形的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形 $EFGH$ 中， $EF = EG = EH$ ，在边 $FG$ ， $GH$ 上分别取中点 $M$ ， $N$ ，连接 $MN$ ．若 $∠ FGH = 120 °$ ， $EF = 20$ ，求线段 $MN$ 的长．

类比拓展

顶角为 $2 α$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含 $α$ 的式子表示）

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如图，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PA$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 是半圆 $CD$ 的中点，连接 $AM$ 交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求证： $C M^{2} = MN \cdot MA$ ；

（2）若 $∠ P = 30 °$ ， $PC = 2$ ，求 $CM$ 的长．

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（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2） $E$ 是 $y$ 轴上一点，且 $ΔAOE$ 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 $E$ 点坐标．

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（2）抛物线顶点为 $D$ ，直线 $BD$ 交 $y$ 轴于 $E$ 点；

①设点 $P$ 为线段 $BD$ 上一点（点 $P$ 不与 $B$ 、 $D$ 两点重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线交于点 $F$ ，求 $ΔBDF$ 面积的最大值；

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