初中数学三角形综合题试题

如图，平面内的两条直线 $l_1$、 $l_2$，点 $A$， $B$在直线 $l_1$上，点 $C$、 $D$在直线 $l_2$上，过 $A$、 $B$两点分别作直线 $l_2$的垂线，垂足分别为 $A_1$， $B_1$，我们把线段 $A_1{B}_1$叫做线段 $\mathit{AB}$在直线 $l_2$上的正投影，其长度可记作 $T_{(\mathit{AB},\mathit{CD})}$或 $T_{(\mathit{AB},l_2)}$，特别地线段 $\mathit{AC}$在直线 $l_2$上的正投影就是线段 $A_{1}C$．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=3$，则 $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=$　    　；

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=4$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=9$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）如图3，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=60°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\angle \mathit{ACD}=90°$， $T_{(\mathit{AD},\mathit{AC})}=2$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=6$，求 $T_{(\mathit{BC},\mathit{CD})}$，

在中，，，是上一点，连接．

（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．

（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点．

①如图2，若，求证：．

②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示）

已知：在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，连接 $\mathit{BD}$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$延长线上一点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CE}$，使 $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBE}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CE}$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）①如图1，当 $\angle \mathit{ABC}=45°$时，线段 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$之间的数量关系是　．

②如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=60°$时，线段 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$之间的数量关系是　　．

（2）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=30°$时，线段 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$之间具有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图4，当 $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$时，直接写出线段 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$之间的数量关系．（用含 $\alpha$的式子表示）

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CE}$ ， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $M$ 是 $\mathit{AE}$ 的中点．

（1）如图1，若点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上，连接 $\mathit{CM}$ ，当 $\mathit{AB}=4$ 时，求 $\mathit{CM}$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内部，连接 $\mathit{BD}$ ，点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 中点，连接 $\mathit{MN}$ ， $\mathit{NE}$ ，求证： $\mathit{MN}\perp \mathit{AE}$ ；

（3）如图3，将图2中的 $\mathit{\Delta CDE}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，使 $\angle \mathit{BCD}=30°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 中点，连接 $\mathit{MN}$ ，探索 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{AC}}$ 的值并直接写出结果．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

（1）问题发现

如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：

①的值为　　；

②的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$是 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $A$， $O$， $C$重合）．过点 $A$，点 $C$作直线 $\mathit{BP}$的垂线，垂足分别为点 $E$和点 $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）如图1，请直接写出线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$的数量关系；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$时，请判断线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $|\mathit{CF}-\mathit{AE}|=2$， $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$，当 $\mathit{\Delta POF}$为等腰三角形时，请直接写出线段 $\mathit{OP}$的长．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、

填空：

①线段、的数量关系为　　．

②线段、的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{BCD}$中， $\angle \mathit{CBD}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，点 $A$在 $\mathit{CB}$的延长线上，且 $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动，过点 $E$作射线 $\mathit{EF}\perp \mathit{EA}$，交 $\mathit{CD}$所在直线于点 $F$．

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上移动时，如图（1）所示，求证： $\mathit{BC}-\mathit{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{DF}$．

（2）当点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DF}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，以 $\mathit{BC}$为边在 $\mathit{\Delta ABC}$外作正方形 $\mathit{BCDE}$，延长 $\mathit{AB}$分别交 $\mathit{CE}$、 $\mathit{DE}$的延长线于点 $F$， $N$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AF}$于点 $H$， $\mathit{EM}\perp \mathit{AF}$于点 $M$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）判断 $\mathit{\Delta CHB}$和 $\mathit{\Delta BME}$是否全等，并说明理由；

（2）求证： $A{E}^2=\mathit{AC}·\mathit{AF}$；

（3）已知 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，若点 $P$是直线 $\mathit{AF}$上的动点，请直接写出 $\mathit{\Delta CEP}$周长的最小值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{DAE}=36°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ．连接 $\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BE}$ 并延长交 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ， $G$ ．若 $\mathit{BE}$ 恰好平分 $\angle \mathit{ABC}$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\angle \mathit{ADC}=\angle \mathit{AEB}$

B．

$\mathit{CD}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{DE}=\mathit{GE}$

D．

$B{F}^2=\mathit{CF}\cdot \mathit{AC}$

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

已知：在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$， $\angle \mathit{BGE}=\angle \mathit{ADE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）如图2， $\mathit{BH}$是 $\mathit{\Delta ABE}$的中线，若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$， $\mathit{DE}=\mathit{EG}$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $\mathit{\Delta ADE}$面积的2倍．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{DCB}$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

方法2：如图3，作 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{DCB}$，与 $\mathit{AB}$相交于点 $F$．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$在 $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{BDE}=2\angle \mathit{ABC}$，点 $F$在 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{BAC}$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{FE}$，相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{DGF}=\angle \mathit{BDE}$．

①在图中找出与 $\angle \mathit{DEF}$相等的角，并加以证明；

②若 $\mathit{AB}=\mathit{kDF}$，猜想线段 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DB}$的数量关系，并证明你的猜想．