初中数学等边三角形的性质试题

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$按如图所示方式放置，点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$，且 $\angle \mathit{DCE}=90°$．

（1）如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当 $\mathit{BA}=\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}=2\mathit{AE}$时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当 $\mathit{AB}:\mathit{BC}:\mathit{AC}=\mathit{AD}:\mathit{DE}:\mathit{AE}=m:n:p$时，请直接写出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系．

【操作发现】

（1）如图1， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，先将三角板中的 $60°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $30°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板斜边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=30°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．

①求 $\angle \mathit{EAF}$的度数；

② $\mathit{DE}$与 $\mathit{EF}$相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，先将三角板的 $90°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $45°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板另一直角边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=45°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．请直接写出探究结果：

① $\angle \mathit{EAF}$的度数；

②线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{ED}$， $\mathit{DB}$之间的数量关系．

如图，面积为1的等边三角形 $\mathit{ABC}$中， $D$， $E$， $F$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$的中点，则 $\mathit{\Delta DEF}$的面积是 $($　　 $)$

A．1B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{1}{3}$D． $\frac{1}{4}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形， $\mathit{AB}=2$．若 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一动点，且满足 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ACP}$，则线段 $\mathit{PB}$长度的最小值为　　．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图，把等边△ $\mathit{ABC}$沿着 $\mathit{DE}$折叠，使点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上的点 $P$处，且 $\mathit{DP}\perp \mathit{BC}$，若 $\mathit{BP}=4\mathit{cm}$，则 $\mathit{EC}=$　           　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{\Delta ABD}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$于点 $E$，连 $\mathit{CD}$分别交 $\mathit{AE}$， $\mathit{AB}$于点 $F$， $G$，过点 $A$作 $\mathit{AH}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BD}$于点 $H$．则下列结论：① $\angle \mathit{ADC}=15°$；② $\mathit{AF}=\mathit{AG}$；③ $\mathit{AH}=\mathit{DF}$；④ $\mathit{\Delta AFG}\backsim \mathit{\Delta CBG}$；⑤ $\mathit{AF}=(\sqrt{3}-1)\mathit{EF}$．其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．5B．4C．3D．2

二次函数 $y=x^2-2x-3$的图象如图所示，若线段 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，且 $\mathit{AB}$为 $2\sqrt{3}$个单位长度，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，使点 $C$落在该函数 $y$轴右侧的图象上，则点 $C$的坐标为　           　．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$与 $x$轴交于点 $B_1$，以 $O{B}_1$为边长作等边三角形 $A_{1}O{B}_1$，过点 $A_1$作 $A_1{B}_2$平行于 $x$轴，交直线 $l$于点 $B_2$，以 $A_1{B}_2$为边长作等边三角形 $A_2{A}_1{B}_2$，过点 $A_2$作 $A_2{B}_3$平行于 $x$轴，交直线 $l$于点 $B_3$，以 $A_2{B}_3$为边长作等边三角形 $A_3{A}_2{B}_3$， $\dots$，则点 $A_{2017}$的横坐标是　　．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转，得到 $\mathit{\Delta ADE}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$，点 $B$的对应点为点 $D$，点 $C$的对应点为点 $E$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BE}$．

（1）如图，当 $\alpha =60°$时，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

①求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等边三角形；

②求证： $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AF}=\mathit{DF}$；

③请直接写出 $\mathit{BE}$的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$作 $\mathit{DG}$垂直于直线 $\mathit{AB}$，垂足为点 $G$，连接 $\mathit{CE}$，当 $\angle \mathit{DAG}=\angle \mathit{ACB}$，且线段 $\mathit{DG}$与线段 $\mathit{AE}$无公共点时，请直接写出 $\mathit{BE}+\mathit{CE}$的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图，已知 $\angle \mathit{XOY}=60°$，点 $A$在边 $\mathit{OX}$上， $\mathit{OA}=2$．过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp \mathit{OY}$于点 $C$，以 $\mathit{AC}$为一边在 $\angle \mathit{XOY}$内作等边三角形 $\mathit{ABC}$，点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$围成的区域（包括各边）内的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{OY}$交 $\mathit{OX}$于点 $D$，作 $\mathit{PE}//\mathit{OX}$交 $\mathit{OY}$于点 $E$．设 $\mathit{OD}=a$， $\mathit{OE}=b$，则 $a+2b$的取值范围是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

如图，△ $A_1{A}_2{A}_3$，△ $A_4{A}_5{A}_5$，△ $A_7{A}_8{A}_9$， $\dots$，△ $A_{3n-2}{A}_{3n-1}{A}_{3n}(n$为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6， $\dots$， $2n$，顶点 $A_3$， $A_6$， $A_9$， $\dots$， $A_{3n}$均在 $y$轴上，点 $O$是所有等边三角形的中心，则点 $A_{2016}$的坐标为　　．