初中数学等边三角形的性质试题

小颖同学在手工制作中，把一个边长为 $12\mathit{cm}$的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}\mathit{cm}$B． $4\sqrt{3}\mathit{cm}$C． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $8\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots \dots$．记△ $B_{1}C{B}_2$面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$面积为 $S_3$，则 $S_n=$　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，点 $P$从 $A$出发，沿 $A\to B\to C\to A$作匀速运动，则线段 $\mathit{AP}$的长度 $y$与运动时间 $x$之间的函数关系大致是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

$\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta FGH}$是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 $\mathit{ABC}$内．若求五边形 $\mathit{DECHF}$的周长，则只需知道 $($　　 $)$

A． $\mathit{\Delta ABC}$的周长B． $\mathit{\Delta AFH}$的周长

C．四边形 $\mathit{FBGH}$的周长D．四边形 $\mathit{ADEC}$的周长

如图，等边 $\mathit{\Delta OAB}$的边长为2，则点 $B$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(1,1)$B． $(1,\sqrt{3})$C． $(\sqrt{3}$， $1)$D． $(\sqrt{3}$， $\sqrt{3})$

如图，分别以等边三角形 $\mathit{ABC}$的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 $\mathit{AB}=2$，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 $($　　 $)$

A． $\pi +\sqrt{3}$B． $\pi -\sqrt{3}$C． $2\pi -\sqrt{3}$D． $2\pi -2\sqrt{3}$

已知等边三角形的边长为3，点 $P$为等边三角形内任意一点，则点 $P$到三边的距离之和为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$C． $\frac{3}{2}$D．不能确定

如图，点 $M$， $N$分别在正三角形 $\mathit{ABC}$的 $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$边上，且 $\mathit{BM}=\mathit{CN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$交于点 $Q$．求证： $\angle \mathit{BQM}=60°$．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$与 $x$轴交于点 $B_1$，以 $O{B}_1$为边长作等边三角形 $A_{1}O{B}_1$，过点 $A_1$作 $A_1{B}_2$平行于 $x$轴，交直线 $l$于点 $B_2$，以 $A_1{B}_2$为边长作等边三角形 $A_2{A}_1{B}_2$，过点 $A_2$作 $A_2{B}_3$平行于 $x$轴，交直线 $l$于点 $B_3$，以 $A_2{B}_3$为边长作等边三角形 $A_3{A}_2{B}_3$， $\dots$，则点 $A_{2017}$的横坐标是　　．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转，得到 $\mathit{\Delta ADE}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$，点 $B$的对应点为点 $D$，点 $C$的对应点为点 $E$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BE}$．

（1）如图，当 $\alpha =60°$时，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

①求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等边三角形；

②求证： $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AF}=\mathit{DF}$；

③请直接写出 $\mathit{BE}$的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$作 $\mathit{DG}$垂直于直线 $\mathit{AB}$，垂足为点 $G$，连接 $\mathit{CE}$，当 $\angle \mathit{DAG}=\angle \mathit{ACB}$，且线段 $\mathit{DG}$与线段 $\mathit{AE}$无公共点时，请直接写出 $\mathit{BE}+\mathit{CE}$的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图，已知 $\angle \mathit{XOY}=60°$，点 $A$在边 $\mathit{OX}$上， $\mathit{OA}=2$．过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp \mathit{OY}$于点 $C$，以 $\mathit{AC}$为一边在 $\angle \mathit{XOY}$内作等边三角形 $\mathit{ABC}$，点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$围成的区域（包括各边）内的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{OY}$交 $\mathit{OX}$于点 $D$，作 $\mathit{PE}//\mathit{OX}$交 $\mathit{OY}$于点 $E$．设 $\mathit{OD}=a$， $\mathit{OE}=b$，则 $a+2b$的取值范围是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

已知菱形 ABCD， E、 F是动点，边长为4， BE＝ AF，∠ BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）

①△ BEC≌△ AFC；②△ ECF为等边三角形；③∠ AGE＝∠ AFC；④若 AF＝1，则 $\frac{\mathit{GF}}{\mathit{EG}}$ ＝ $\frac{1}{3}$ ．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4