初中数学等边三角形的性质试题

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、

填空：

①线段、的数量关系为　　．

②线段、的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

如图所示，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{\Delta ABE}$是等边三角形，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$内，在对角线 $\mathit{AC}$上有一点 $P$，使 $\mathit{PD}+\mathit{PE}$的和最小，则这个最小值为　　．

如图，在等边三角形中，，点，分别是边，的中点，点，同时沿射线的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点，处，连接，，，．

（1）写出图1中的一对全等三角形；

（2）如图2所示，当点在线段延长线上时，画出示意图，判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等，并说明理由；

（3）在点运动的过程中，若是直角三角形，直接写出此时线段的长度．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转，得到 $\mathit{\Delta ADE}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$，点 $B$的对应点为点 $D$，点 $C$的对应点为点 $E$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BE}$．

（1）如图，当 $\alpha =60°$时，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

①求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等边三角形；

②求证： $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AF}=\mathit{DF}$；

③请直接写出 $\mathit{BE}$的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$作 $\mathit{DG}$垂直于直线 $\mathit{AB}$，垂足为点 $G$，连接 $\mathit{CE}$，当 $\angle \mathit{DAG}=\angle \mathit{ACB}$，且线段 $\mathit{DG}$与线段 $\mathit{AE}$无公共点时，请直接写出 $\mathit{BE}+\mathit{CE}$的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

（1）发现：如图1，点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=a$ ， $\mathit{AB}=b$ ．

填空：当点 $A$ 位于 　　时，线段 $\mathit{AC}$ 的长取得最大值，且最大值为 　　（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

（2）应用：点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{AB}=1$ ，如图2所示，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为边，作等边三角形 $\mathit{ABD}$ 和等边三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①请找出图中与 $\mathit{BE}$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $\mathit{BE}$ 长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5,0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 外一动点，且 $\mathit{PA}=2$ ， $\mathit{PM}=\mathit{PB}$ ， $\angle \mathit{BPM}=90°$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

小颖同学在手工制作中，把一个边长为 $12\mathit{cm}$的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}\mathit{cm}$B． $4\sqrt{3}\mathit{cm}$C． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $8\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图， $P(m,m)$是反比例函数 $y=\frac{9}{x}$在第一象限内的图象上一点，以 $P$为顶点作等边 $\mathit{\Delta PAB}$，使 $\mathit{AB}$落在 $x$轴上，则 $\mathit{\Delta POB}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{2}$B． $3\sqrt{3}$C． $\frac{9+12\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle B=60°$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CD}$ 方向移动，移动到点 $D$ 停止．在 $\mathit{\Delta ABP}$ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是 $($ 　　 $)$

A．	直角三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 等腰三角形 $\to$ 直角三角形
B．	直角三角形 $\to$ 等腰三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等边三角形
C．	直角三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等腰三角形
D．	等腰三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等腰三角形

如图，已知边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$中，分别以点 $A$， $C$为圆心， $m$为半径作弧，两弧交于点 $D$，连结 $\mathit{BD}$．若 $\mathit{BD}$的长为 $2\sqrt{3}$，则 $m$的值为　　．

如图，面积为1的等边三角形 $\mathit{ABC}$中， $D$， $E$， $F$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$的中点，则 $\mathit{\Delta DEF}$的面积是 $($　　 $)$

A．1B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{1}{3}$D． $\frac{1}{4}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{\Delta ABD}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$于点 $E$，连 $\mathit{CD}$分别交 $\mathit{AE}$， $\mathit{AB}$于点 $F$， $G$，过点 $A$作 $\mathit{AH}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BD}$于点 $H$．则下列结论：① $\angle \mathit{ADC}=15°$；② $\mathit{AF}=\mathit{AG}$；③ $\mathit{AH}=\mathit{DF}$；④ $\mathit{\Delta AFG}\backsim \mathit{\Delta CBG}$；⑤ $\mathit{AF}=(\sqrt{3}-1)\mathit{EF}$．其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．5B．4C．3D．2

如图，等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中心， $\angle \mathit{FOG}=120°$，绕点 $O$旋转 $\angle \mathit{FOG}$，分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$于 $D$、 $E$两点，连接 $\mathit{DE}$，给出下列四个结论：① $\mathit{OD}=\mathit{OE}$；② $S_{\mathit{\Delta ODE}}=S_{\mathit{\Delta BDE}}$；③四边形 $\mathit{ODBE}$的面积始终等于 $\frac{4}{3}\sqrt{3}$；④ $\mathit{\Delta BDE}$周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AF}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $G$．下列结论：① $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{EF}$；② $\mathit{BE}+\mathit{DF}=\mathit{EF}$；③当 $\angle \mathit{DAF}=15°$时， $\mathit{\Delta AEF}$为等边三角形；④当 $\angle \mathit{EAF}=60°$时， $S_{\mathit{\Delta ABE}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta CEF}}$．其中正确的是 $($　　 $)$

A．①③B．②④C．①③④D．②③④

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形， $\mathit{\Delta BPC}$ 是等边三角形，连接 $\mathit{DP}$ 并延长交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{PC}$ 于点 $Q$ ，下列结论：

① $\angle \mathit{BPD}=135°$ ；② $\mathit{\Delta BDP}\backsim \mathit{\Delta HDB}$ ；③ $\mathit{DQ}:\mathit{BQ}=1:2$ ；④ $S_{\mathit{\Delta BDP}}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$ ．

其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

②③④

C．

①③④

D．

①②④