初中数学等腰三角形的性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta DEC}$，点 $D$落在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DC}$平分 $\angle \mathit{ADE}$；

（2）试判断 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{BE}=\mathit{BD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{AE}=\mathit{AB}$，将线段 $\mathit{AC}$绕 $A$点旋转到 $\mathit{AF}$的位置，使得 $\angle \mathit{CAF}=\angle \mathit{BAE}$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=65°$， $\angle \mathit{ACB}=28°$，求 $\angle \mathit{FGC}$的度数．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$为 $\odot O$的两条直径， $\mathit{DF}$为切线，过 $\mathit{AO}$上一点 $N$作 $\mathit{NM}\perp \mathit{DF}$于 $M$，连接 $\mathit{DN}$并延长交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DMN}\backsim \mathit{\Delta CED}$．

（2）设 $G$为点 $E$关于 $\mathit{AB}$对称点，连接 $\mathit{GD}$、 $\mathit{GN}$，如果 $\angle \mathit{DNO}=45°$， $\odot O$的半径为3，求 $D{N}^2+G{N}^2$的值．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$为弦， $\angle \mathit{BA}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

求证：（1） $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$；

（2） $\mathit{AE}+\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $O$是底边 $\mathit{BC}$的中点，腰 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $D$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=1$．求阴影部分的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边长一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $E$，点 $O$在线段 $\mathit{ED}$的延长线上，且 $\odot O$经过 $C$， $D$两点．

（1）判断直线 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长为 $\frac{10}{9}\pi$，请求出 $\angle A$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $F$，线段 $\mathit{FD}$， $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CF}=1$， $\mathit{DF}=\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAE}$，且交 $\mathit{BF}$于点 $C$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABF}$，且交 $\mathit{AE}$于点 $D$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，连接 $\mathit{CD}$

（1）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数；

（2）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{ED}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $F$，点 $O$在线段 $\mathit{EF}$上， $\odot O$经过 $C$、 $E$两点，交 $\mathit{ED}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle E=30°$， $\mathit{AD}=1$， $\mathit{BD}=5$，求 $\odot O$的半径．