初中数学

实践与探究

操作一:如图①,已知正方形纸片 ABCD ,将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠,使点 B 落在正方形 ABCD 的内部,点 B 的对应点为点 M ,折痕为 AE ,再将纸片沿过点 A 的直线折叠,使 AD AM 重合,折痕为 AF ,则 EAF =   度.

操作二:如图②,将正方形纸片沿 EF 继续折叠,点 C 的对应点为点 N .我们发现,当点 E 的位置不同时,点 N 的位置也不同.当点 E BC 边的某一位置时,点 N 恰好落在折痕 AE 上,则 AEF =   度.

在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:

(1)设 AM NF 的交点为点 P .求证: ΔANP ΔFNE

(2)若 AB = 3 ,则线段 AP 的长为   

来源:2021年吉林省长春市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-21
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图, AB O 的直径, C O 上一点,连接 AC BC D AB 延长线上一点,连接 CD ,且 BCD = A

(1)求证: CD O 的切线;

(2)若 O 的半径为 5 ΔABC 的面积为 2 5 ,求 CD 的长;

(3)在(2)的条件下, E O 上一点,连接 CE 交线段 OA 于点 F ,若 EF CF = 1 2 ,求 BF 的长.

来源:2021年四川省成都市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在正方形 ABCD 中, E F 为边 AB 上的两个三等分点,点 A 关于 DE 的对称点为 A ' AA ' 的延长线交 BC 于点 G

(1)求证: DE / / A ' F

(2)求 GA ' B 的大小;

(3)求证: A ' C = 2 A ' B

来源:2021年福建省中考数学试卷
  • 更新:2021-07-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在正方形 ABCD 中,点 E 是边 BC 上一点,且点 E 不与点 B C 重合,点 F BA 的延长线上一点,且 AF = CE

(1)求证: ΔDCE ΔDAF

(2)如图2,连接 EF ,交 AD 于点 K ,过点 D DH EF ,垂足为 H ,延长 DH BF 于点 G ,连接 HB HC

①求证: HD = HB

②若 DK HC = 2 ,求 HE 的长.

来源:2021年海南省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在 ΔABC 中, AB = AC BAC = α M BC 的中点,点 D MC 上,以点 A 为中心,将线段 AD 顺时针旋转 α 得到线段 AE ,连接 BE DE

(1)比较 BAE CAD 的大小;用等式表示线段 BE BM MD 之间的数量关系,并证明;

(2)过点 M AB 的垂线,交 DE 于点 N ,用等式表示线段 NE ND 的数量关系,并证明.

来源:2021年北京市中考数学试卷
  • 更新:2021-07-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

问题提出

如图(1),在 ΔA BC ΔDEC 中, ACB = DCE = 90 ° BC = AC EC = DC ,点 E ΔABC 内部,直线 AD BE 于点 F .线段 AF BF CF 之间存在怎样的数量关系?

问题探究

(1)先将问题特殊化如图(2),当点 D F 重合时,直接写出一个等式,表示 AF BF CF 之间的数量关系;

(2)再探究一般情形如图(1),当点 D F 不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

如图(3),在 ΔABC ΔDEC 中, ACB = DCE = 90 ° BC = kAC EC = kDC ( k 是常数),点 E ΔABC 内部,直线 AD BE 交于点 F .直接写出一个等式,表示线段 AF BF CF 之间的数量关系.

来源:2021年湖北省武汉市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

ΔABC 中, ACB = 90 ° AC BC = m D 是边 BC 上一点,将 ΔABD 沿 AD 折叠得到 ΔAED ,连接 BE

(1)特例发现

如图1,当 m = 1 AE 落在直线 AC 上时.

①求证: DAC = EBC

②填空: CD CE 的值为   

(2)类比探究

如图2,当 m 1 AE 与边 BC 相交时,在 AD 上取一点 G ,使 ACG = BCE CG AE 于点 H .探究 CG CE 的值(用含 m 的式子表示),并写出探究过程;

(3)拓展运用

在(2)的条件下,当 m = 2 2 D BC 的中点时,若 EB EH = 6 ,求 CG 的长.

来源:2021年湖北省襄阳市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知等边三角形 ABC ,过 A 点作 AC 的垂线 l ,点 P l 上一动点(不与点 A 重合),连接 CP ,把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60 ° 得到 CQ ,连 QB

(1)如图1,直接写出线段 AP BQ 的数量关系;

(2)如图2,当点 P B AC 同侧且 AP = AC 时,求证:直线 PB 垂直平分线段 CQ

(3)如图3,若等边三角形 ABC 的边长为4,点 P B 分别位于直线 AC 异侧,且 ΔAPQ 的面积等于 3 4 ,求线段 AP 的长度.

来源:2021年湖北省十堰市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图①, E F 是等腰 Rt Δ ABC 的斜边 BC 上的两动点, EAF = 45 ° CD BC CD = BE

(1)求证: ΔABE ΔACD

(2)求证: E F 2 = B E 2 + C F 2

(3)如图②,作 AH BC ,垂足为 H ,设 EAH = α FAH = β ,不妨设 AB = 2 ,请利用(2)的结论证明:当 α + β = 45 ° 时, tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β 成立.

来源:2021年湖南省娄底市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-21
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在直角坐标系 xoy 中,直线 l : y = kx + b x 轴, y 轴于点 E F ,点 B 的坐标是 ( 2 , 2 ) ,过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为 A C ,点 D 是线段 CO 上的动点,以 BD 为对称轴,作与 ΔBCD 成轴对称的△ BC ' D

(1)当 CBD = 15 ° 时,求点 C ' 的坐标.

(2)当图1中的直线 l 经过点 A ,且 k = 3 3 时(如图 2 ) ,求点 D C O 的运动过程中,线段 BC ' 扫过的图形与 ΔOAF 重叠部分的面积.

(3)当图1中的直线 l 经过点 D C ' 时(如图 3 ) ,以 DE 为对称轴,作与 ΔDOE 成轴对称的△ DO ' E ,连接 O ' C O ' O ,问是否存在点 D ,使得△ DO ' E 与△ CO ' O 相似?若存在,求出 k b 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2016年浙江省衢州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)如图1,在半对角四边形 ABCD 中, B = 1 2 D C = 1 2 A ,求 B C 的度数之和;

(2)如图2,锐角 ΔABC 内接于 O ,若边 AB 上存在一点 D ,使得 BD = BO OBA 的平分线交 OA 于点 E ,连接 DE 并延长交 AC 于点 F AFE = 2 EAF .求证:四边形 DBCF 是半对角四边形;

(3)如图3,在(2)的条件下,过点 D DG OB 于点 H ,交 BC 于点 G ,当 DH = BG 时,求 ΔBGH ΔABC 的面积之比.

来源:2017年浙江省宁波市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

ABC为等边三角形, AB 8 AD BC 于点DE为线段 AD 上一点, AE 2 3 .以AE为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF ,连接 CE N CE 的中点.

(1)如图1, EF AC 交于点G,连接 NG ,求线段 NG 的长;

(2)如图2,将 AEF 绕点A逆时针旋转,旋转角为α,M为线段EF的中点,连接 DN MN .当 30 ° α 120 ° 时,猜想∠DNM的大小是否为定值,并证明你的结论;

(3)连接BN,在 AEF 绕点A逆时针旋转过程中,当线段BN最大时,请直接写出 ADN 的面积.

来源:2020年重庆市中考数学试卷(b卷)
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在等腰 ΔADE 中, AE = DE ΔABC 是直角三角形, CAB = 90 ° ABC = 1 2 AED ,连接 CD BD ,点 F BD 的中点,连接 EF

(1)当 EAD = 45 ° ,点 B 在边 AE 上时,如图①所示,求证: EF = 1 2 CD

(2)当 EAD = 45 ° ,把 ΔABC 绕点 A 逆时针旋转,顶点 B 落在边 AD 上时,如图②所示,当 EAD = 60 ° ,点 B 在边 AE 上时,如图③所示,猜想图②、图③中线段 EF CD 又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.

来源:2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在矩形 ABCD 中, E 是边 AB 上一点, BE = BC EF CD ,垂足为 F .将四边形 CBEF 绕点 C 顺时针旋转 α ( 0 ° < α < 90 ° ) ,得到四边形 C B ' E ' F ' B ' E ' 所在的直线分别交直线 BC 于点 G ,交直线 AD 于点 P ,交 CD 于点 K E ' F ' 所在的直线分别交直线 BC 于点 H ,交直线 AD 于点 Q ,连接 B ' F ' CD 于点 O

(1)如图1,求证:四边形 BEFC 是正方形;

(2)如图2,当点 Q 和点 D 重合时.

①求证: GC = DC

②若 OK = 1 CO = 2 ,求线段 GP 的长;

(3)如图3,若 BM / / F ' B ' GP 于点 M tan G = 1 2 ,求 S ΔGMB S CF ' H 的值.

来源:2021年湖北省宜昌市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图1所示放置,点 E F 分别在边 AB AD 上,连接 BF DE M BF 的中点,连接 AM DE 于点 N

【观察猜想】

(1)线段 DE AM 之间的数量关系是   ,位置关系是   

【探究证明】

(2)将图1中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45 ° ,点 G 恰好落在边 AB 上,如图2,其他条件不变,线段 DE AM 之间的关系是否仍然成立?并说明理由.

来源:2021年山东省烟台市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学全等三角形的判定与性质解答题