初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图， $\mathit{\Delta ACB}$和 $\mathit{\Delta DCE}$均为等腰三角形，点 $A$， $D$， $E$在同一直线上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CBA}=\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{CED}=50°$

①求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$；

②求 $\angle \mathit{AEB}$的度数．

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=120°$， $\mathit{CM}$为 $\mathit{\Delta DCE}$中 $\mathit{DE}$边上的高， $\mathit{BN}$为 $\mathit{\Delta ABE}$中 $\mathit{AE}$边上的高，试证明： $\mathit{AE}=2\sqrt{3}\mathit{CM}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathit{BN}$．

如图， $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线， $A$是切点， $\mathit{AC}$是直径， $\mathit{AB}$是弦，连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$， $\mathit{PC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，且 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$．

（1）求证： $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{APC}=3\angle \mathit{BPC}$，求 $\frac{\mathit{PE}}{\mathit{CE}}$的值．

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线，切点为 $B$， $\mathit{OC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BA}$、 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{ED}=3$，求 $\odot O$的半径．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$的坐标为 $(8,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,4)$，把矩形 $\mathit{OABC}$沿 $\mathit{OB}$折叠，点 $C$落在点 $D$处，则点 $D$的坐标为　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 为边 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折至 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内，得 $\mathit{\Delta ADC}\text{'}$ ，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，分别与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $O$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}\text{'}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

在① $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ，③ $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．若 　 ① $\mathit{AD}=\mathit{AE}($ ② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ 或 ③ $\mathit{FB}=\mathit{FC})$ 　，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

如图，点 $O$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线的交点， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OE}=\mathit{OF}$

B．

$\mathit{AE}=\mathit{BF}$

C．

$\angle \mathit{DOC}=\angle \mathit{OCD}$

D．

$\angle \mathit{CFE}=\angle \mathit{DEF}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．