初中数学三角形解答题

问题提出

如图（1），在 $\mathit{\Delta A}\mathit{BC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{EC}=\mathit{DC}$，点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$于点 $F$．线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点 $D$， $F$重合时，直接写出一个等式，表示 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 $D$， $F$不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{kAC}$， $\mathit{EC}=\mathit{kDC}(k$是常数），点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$．直接写出一个等式，表示线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$是对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）证明四边形 $\mathit{BEDF}$是菱形．

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{AC}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $A$作 $\mathit{AF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{DE}$于点 $F$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CF}=2$， $\angle \mathit{FAC}=30°$， $\angle B=45°$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$上的动点， $\angle \mathit{AEF}=90°$，且 $\mathit{EF}=\mathit{AE}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{BH}$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$；

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BE}=x$，用 $x$表示 $\mathit{DF}$的长．

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{CF}//\mathit{AB}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于 $E$点， $\mathit{DE}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CFE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\mathit{CF}=4$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，在 $\mathit{\Delta ECH}$中， $\angle \mathit{ECH}=90°$， $\mathit{CE}=\mathit{CH}$， $\mathit{HE}$的延长线与 $\mathit{CD}$的延长线交于点 $F$，点 $D$、 $B$、 $H$在同一条直线上．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}\cong \mathit{\Delta CBH}$；

（2）当 $\frac{\mathit{HB}}{\mathit{HD}}=\frac{1}{5}$时，求 $\frac{\mathit{FD}}{\mathit{FC}}$的值；

（3）当 $\mathit{HB}=3$， $\mathit{HG}=4$时，求 $\sin \angle \mathit{CFE}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若弦 $\mathit{MN}$垂直于 $\mathit{AB}$，垂足为 $G$， $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{4}$， $\mathit{MN}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{BAC}=36°$时，求线段 $\mathit{CE}$的长．

（1）如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $P$为边 $\mathit{AB}$上一点，请用尺规作图的方法在边 $\mathit{AC}$上求作一点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{EP}=\mathit{AC}$．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在图中，如果 $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AP}=3\mathit{cm}$，则 $\mathit{\Delta APE}$的周长是 　　 $\mathit{cm}$．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_1$， $l_2$，交点为P，垂足分别为点G，H； $\left(3\right)$作射线OP，射线即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 简述理由如下： 由作图知， $\angle \mathit{PGO}=\angle \mathit{PHO}=90°$， $\mathit{OG}=\mathit{OH}$， $\mathit{OP}=\mathit{OP}$，所以 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$，则 $\angle \mathit{POG}=\angle \mathit{POH}$，即射线OP是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$连接DE，CF，交点为P； $\left(3\right)$作射线 $\mathit{OP}.$射线OP即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． $\dots \dots$

任务：

$\left(1\right)$小明得出 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$的依据是______ $($填序号 $)$．

$\mathit{①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL}$

$\left(2\right)$小军作图得到的射线0P是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线吗？请判断并说明理由．

$\left(3\right)$如图3，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $\mathit{OE}=\mathit{OF}=\sqrt{3}+1.$点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$，连接DE，CF，交点为P，当 $\angle \mathit{CPE}=30°$时，直接写出线段OC的长．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$上一点，且点 $E$不与点 $B$、 $C$重合，点 $F$是 $\mathit{BA}$的延长线上一点，且 $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCE}\cong \mathit{\Delta DAF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{EF}$，交 $\mathit{AD}$于点 $K$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{EF}$，垂足为 $H$，延长 $\mathit{DH}$交 $\mathit{BF}$于点 $G$，连接 $\mathit{HB}$， $\mathit{HC}$．

①求证： $\mathit{HD}=\mathit{HB}$；

②若 $\mathit{DK}\cdot \mathit{HC}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{HE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $O$ ，在 $\mathit{\Delta AOC}$ 与 $\mathit{\Delta BOD}$ 中，有下列三个条件：① $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，② $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ ，③ $\angle A=\angle B$ ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．

（1）你选的条件为 　　、 　　，结论为 　　；

（2）证明你的结论．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

【探究发现】

（1）如图①，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$．求证： $\mathit{AD}+\mathit{AB}=\mathit{AC}$；

【拓展迁移】

（2）如图②，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=180°$．

①猜想 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$三条线段的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．