初中数学三角形解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$为弦， $\angle \mathit{BA}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

求证：（1） $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$；

（2） $\mathit{AE}+\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $D$、 $E$分别是斜边 $\mathit{AB}$、直角边 $\mathit{BC}$上的点，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿着直线 $\mathit{DE}$折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$和点 $A$重合时，用直尺和圆规作出直线 $\mathit{DE}$；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上点 $P$处，且四边形 $\mathit{PEBD}$是菱形时，求折痕 $\mathit{DE}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $B$坐标 $(-3,0)$，点 $C$在 $y$轴正半轴上，且 $\sin \angle \mathit{CBO}=\frac{4}{5}$，点 $P$从原点 $O$出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$轴正方向移动，移动时间为 $t(0⩽t⩽5)$秒，过点 $P$作平行于 $y$轴的直线 $l$，直线 $l$扫过四边形 $\mathit{OCDA}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$坐标．

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式．

（3）在直线 $l$移动过程中， $l$上是否存在一点 $Q$，使以 $B$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{BCD}$中， $\angle \mathit{CBD}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，点 $A$在 $\mathit{CB}$的延长线上，且 $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动，过点 $E$作射线 $\mathit{EF}\perp \mathit{EA}$，交 $\mathit{CD}$所在直线于点 $F$．

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上移动时，如图（1）所示，求证： $\mathit{BC}-\mathit{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{DF}$．

（2）当点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DF}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{BCD}$中， $\angle \mathit{CBD}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，点 $A$在 $\mathit{CB}$的延长线上，且 $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动，过点 $E$作射线 $\mathit{EF}\perp \mathit{EA}$，交 $\mathit{CD}$所在直线于点 $F$．

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上移动时，如图（1）所示，求证： $\mathit{AE}=\mathit{EF}$；

（2）当点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $\mathit{AE}$与 $\mathit{EF}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$， $\angle \mathit{EMF}=135°$．将 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转，使 $\angle \mathit{EMF}$的两边交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，请解答下列问题：

（1）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图①的位置时，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}=\mathit{BM}$；

（2）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{BM}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan \angle \mathit{BEM}=\sqrt{3}$， $\mathit{AN}=\sqrt{2}+1$，则 $\mathit{BM}=$　　， $\mathit{CF}=$　　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle C=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=1$．以 $\mathit{AD}$为腰作等腰 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\angle \mathit{ADE}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DC}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{AF}$的长．

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，点 $A$在 $x$轴的负半轴上，直线 $y=-\sqrt{3}x+\frac{7}{2}\sqrt{3}$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$、 $C$两点，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形．

（1）如图1，求点 $A$的坐标；

（2）如图2，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$为 $\mathit{\Delta ACD}$内一点，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$，点 $E$在线段 $\mathit{AP}$上，点 $F$在线段 $\mathit{BP}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{EF}$，若 $\angle \mathit{AFE}=30°$，求 $A{F}^2+E{F}^2$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $\mathit{PE}=\mathit{AE}$时，求点 $P$的坐标．

已知： $\odot O$是正方形 $\mathit{ABCD}$的外接圆，点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DE}$，点 $F$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$上连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{DF}$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DA}$分别交于点 $G$、点 $H$，且 $\mathit{DA}$平分 $\angle \mathit{EDF}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{DHG}$；

（2）如图2，在线段 $\mathit{AH}$上取一点 $N$（点 $N$不与点 $A$、点 $H$重合），连接 $\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $L$，过点 $H$作 $\mathit{HK}//\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $K$，过点 $E$作 $\mathit{EP}\perp \mathit{BN}$，垂足为点 $P$，当 $\mathit{BP}=\mathit{HF}$时，求证： $\mathit{BE}=\mathit{HK}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $3\mathit{HF}=2\mathit{DF}$时，延长 $\mathit{EP}$交 $\odot O$于点 $R$，连接 $\mathit{BR}$，若 $\mathit{\Delta BER}$的面积与 $\mathit{\Delta DHK}$的面积的差为 $\frac{7}{4}$，求线段 $\mathit{BR}$的长．

已知：在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$， $\angle \mathit{BGE}=\angle \mathit{ADE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）如图2， $\mathit{BH}$是 $\mathit{\Delta ABE}$的中线，若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$， $\mathit{DE}=\mathit{EG}$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $\mathit{\Delta ADE}$面积的2倍．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $E$为线段 $\mathit{OB}$上一点（不与 $O$， $B$重合），作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OB}$，交 $\odot O$于点 $C$，作直径 $\mathit{CD}$，过点 $C$的切线交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $P$，作 $\mathit{AF}\perp \mathit{PC}$于点 $F$，连接 $\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{FAB}$；

（2）求证： $B{C}^2=\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$；

（3）当 $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$且 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CP}}=\frac{3}{4}$时，求劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长度．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{CD}$，过 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{DC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于 $F$．

（1）证明：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若四边形 $\mathit{CDEF}$的周长是 $25\mathit{cm}$， $\mathit{AC}$的长为 $5\mathit{cm}$，求线段 $\mathit{AB}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$，且 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta BCA}$；

（2）若 $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=4$，求弦 $\mathit{AC}$的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $\mathit{AB}$至点 $P$，使 $\mathit{BP}=2$，连接 $\mathit{PC}$．求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 $A$旋转，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{DE}$．探究 $S_{\mathit{\Delta ABC}}$与 $S_{\mathit{\Delta ADE}}$的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图① $)$

（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 $30°$角的直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图② $)$

（3）两块三角板中， $\angle \mathit{BAE}+\angle \mathit{CAD}=180°$， $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AE}=b$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{AD}=n(a$， $b$， $m$， $n$为常数）， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，用含 $a$， $b$， $m$， $n$的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③ $)$

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{BF}$，延长 $\mathit{BA}$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $G$．

（1）求证： $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{FG}=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．