初中数学三角形解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．

[性质探究]

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$．

（1）判断 $\mathit{\Delta AFG}$的形状并说明理由．

（2）求证： $\mathit{BF}=2\mathit{OG}$．

[迁移应用]

（3）记 $\mathit{\Delta DGO}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta DBF}$的面积为 $S_2$，当 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值．

[拓展延伸]

（4）若 $\mathit{DF}$交射线 $\mathit{AB}$于点 $F$，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为矩形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{1}{10}$时，请直接写出 $\tan \angle \mathit{BAE}$的值．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．

如图，已知 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的两条直径，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是半径 $\mathit{OC}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）设 $\odot O$的半径为1，若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

（2）连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$，设 $\mathit{OB}$与 $\mathit{EF}$交于点 $P$，

①求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$．

②若 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{BAC}$的度数．

如图1，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$在 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$． $\mathit{EC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $G$，与 $\mathit{AD}$相交于点 $F$， $\mathit{AF}=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{BD}\perp \mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）如图2，连接 $\mathit{AG}$，求证： $\mathit{EG}-\mathit{DG}=\sqrt{2}\mathit{AG}$．

将正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$绕点 $A$逆时针旋转至 $\mathit{AB}\text{'}$，记旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BB}\text{'}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}$垂直于直线 $\mathit{BB}\text{'}$，垂足为点 $E$，连接 $\mathit{DB}\text{'}$， $\mathit{CE}$．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$时， $\mathit{\Delta DEB}\text{'}$的形状为　 　，连接 $\mathit{BD}$，可求出 $\frac{\mathit{BB}\text{'}}{\mathit{CE}}$的值为　　；

（2）当 $0°<\alpha <360°$且 $\alpha \ne 90°$时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B\text{'}$， $E$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{B\text{'}E}$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一动点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$，得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$．点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{AD}$；

（2）如图2所示，在点 $D$运动的过程中，当 $\mathit{BD}=2\mathit{CD}$时，分别延长 $\mathit{CF}$， $\mathit{BA}$，相交于点 $G$，猜想 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BC}$存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$运动的过程中，在线段 $\mathit{AD}$上存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小．当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值取得最小值时， $\mathit{AP}$的长为 $m$，请直接用含 $m$的式子表示 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{BO}$的延长线交边 $\mathit{AC}$于点 $D$．

[小题1]求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ABD}$；

[小题2]当 $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形时，求 $\angle \mathit{BCD}$的大小；

[小题3]当 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CD}=3$时，求边 $\mathit{BC}$的长．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

如图，将等腰直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$对折，折痕为 $\mathit{CD}$．展平后，再将点 $B$折叠在边 $\mathit{AC}$上（不与 $A$、 $C$重合），折痕为 $\mathit{EF}$，点 $B$在 $\mathit{AC}$上的对应点为 $M$，设 $\mathit{CD}$与 $\mathit{EM}$交于点 $P$，连接 $\mathit{PF}$．已知 $\mathit{BC}=4$．

（1）若 $M$为 $\mathit{AC}$的中点，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AC}$上取不同的位置，

① $\mathit{\Delta PFM}$的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $\mathit{\Delta PFM}$的周长的取值范围．