如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，将等腰直角三角形纸片 $ABC$ 对折，折痕为 $CD$ ．展平后，再将点 $B$ 折叠在边 $AC$ 上（不与 $A$ 、 $C$ 重合），折痕为 $EF$ ，点 $B$ 在 $AC$ 上的对应点为 $M$ ，设 $CD$ 与 $EM$ 交于点 $P$ ，连接 $PF$ ．已知 $BC = 4$ ．

（1）若 $M$ 为 $AC$ 的中点，求 $CF$ 的长；

（2）随着点 $M$ 在边 $AC$ 上取不同的位置，

① $ΔPFM$ 的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $ΔPFM$ 的周长的取值范围．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A (2, 0)$ ， $C (0, - 4)$ ，直线 $l : y = - \frac{1}{2} x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 上的一动点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $F$ ．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$ 在第三象限，四边形 $PCOF$ 是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$ 作 $PH ⊥ y$ 轴，垂足为 $H$ ，连接 $AC$ ．

①求证： $ΔACD$ 是直角三角形；

②试问当 $P$ 点横坐标为何值时，使得以点 $P$ 、 $C$ 、 $H$ 为顶点的三角形与 $ΔACD$ 相似？

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设 $a$ 、 $b$ 是任意两个实数，用 $\max {a$ ， $b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 两数中较大者，例如： $\max {- 1$ ， $- 1} = - 1$ ， $\max {1$ ， $2} = 2$ ， $\max {4$ ， $3} = 4$ ，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\max {5$ ， $2} =$ 　　， $\max {0$ ， $3} =$ 　　；

（2）若 $\max {3 x + 1$ ， $- x + 1} = - x + 1$ ，求 $x$ 的取值范围；

（3）求函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 与 $y = - x + 2$ 的图象的交点坐标，函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y = - x + 2$ 的图象，并根据图象直接写出 $\max {- x + 2$ ， $x^{2} - 2 x - 4}$ 的最小值．

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的弦， $BC$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ， $AD ⊥ BC$ ，垂足为 $D$ ， $OA$ 是 $⊙ O$ 的半径，且 $OA = 3$ ．

（1）求证： $AB$ 平分 $∠ OAD$ ；

（2）若点 $E$ 是优弧 $\hat{AEB}$ 上一点，且 $∠ AEB = 60 °$ ，求扇形 $OAB$ 的面积．（计算结果保留 $π)$

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如图所示， $C$ 城市在 $A$ 城市正东方向，现计划在 $A$ 、 $C$ 两城市间修建一条高速公路（即线段 $AC)$ ，经测量，森林保护区的中心 $P$ 在 $A$ 城市的北偏东 $60 °$ 方向上，在线段 $AC$ 上距 $A$ 城市 $120 km$ 的 $B$ 处测得 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，已知森林保护区是以点 $P$ 为圆心， $100 km$ 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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某工厂有甲种原料 $130 kg$ ，乙种原料 $144 kg$ ．现用这两种原料生产出 $A$ ， $B$ 两种产品共30件．已知生产每件 $A$ 产品需甲种原料 $5 kg$ ，乙种原料 $4 kg$ ，且每件 $A$ 产品可获利700元；生产每件 $B$ 产品需甲种原料 $3 kg$ ，乙种原料 $6 kg$ ，且每件 $B$ 产品可获利900元．设生产 $A$ 产品 $x$ 件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：

（1）生产 $A$ ， $B$ 两种产品的方案有哪几种；

（2）设生产这30件产品可获利 $y$ 元，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．

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