[性质探究]
如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， 平分 ，交 于点 ．作 于点 ，分别交 ， 于点 ， ．
（1）判断 的形状并说明理由．
（2）求证： ．
[迁移应用]
（3）记 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求 的值．
[拓展延伸]
（4）若 交射线 于点 ，[性质探究]中的其余条件不变，连结 ，当 的面积为矩形 面积的 时，请直接写出 的值．
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
在平面直角坐标系中，点 ，点 ．已知抛物线 是常数），顶点为 ．
（Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）无论 取何值，该抛物线都经过定点 ．当 时，求抛物线的解析式．
在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 ．以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．
（Ⅰ）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 ．
①求证 ；
②求点 的坐标．
（Ⅲ）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为 为正整数）．
根据题意，填写下表：
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游泳次数 |
10 |
15 |
20 |
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方式一的总费用（元 |
150 |
175 |
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方式二的总费用（元 |
90 |
135 |
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（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当 时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
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