初中数学三角形解答题

如图，点 ， 在 上， ， ， ．求证： ．

如图，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上的一个动点（不与 $B$、 $C$重合），在 $\mathit{AC}$上取一点 $E$，使 $\angle \mathit{ADE}=30°$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCE}$；

（2）设 $\mathit{BD}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式并写出自变量 $x$的取值范围；

（3）当 $\mathit{\Delta ADE}$是等腰三角形时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，Rt△ ABC中，∠ B＝30°，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB交 AB于 D，以 CD为较短的直角边向△ CDB的同侧作Rt△ DEC，满足∠ E＝30°，∠ DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△ FGC，∠ FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△ HIC，∠ HCI＝90°．若 AC＝ a，求 CI的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 边于点 $D$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ．已知 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\angle C=45°$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ；

（2）若 $\mathit{AE}=3$ ，求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的一条弦，点 $P$ 是 $\odot O$ 上一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}$ ， $\mathit{PD}//\mathit{AC}$ ，与 $\mathit{BA}$ 的延长线交于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PAC}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AC}=12$ ，求直径 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，以点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧交 $\mathit{AD}$于点 $F$，再分别以点 $B$、 $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BF}$的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$；连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，则所得四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形；

（2）若菱形 $\mathit{ABEF}$的周长为16， $\mathit{AE}=4\sqrt{3}$，求 $\angle C$的大小．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

已知：如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上的一点，且 $\mathit{CE}=\mathit{BC}$．

求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBC}\cong \mathit{\Delta ECB}$；

（2）求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}=c$，若 $\angle C=90°$，如图1，则有 $a^2+b^2=c^2$；若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时，小明猜想： $a^2+b^2>c^2$，理由如下：如图2，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{CB}$于点 $D$，设 $\mathit{CD}=x$．在 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$中， $A{D}^2=b^2-x^2$，在 $\text{Rt}\Delta \text{ADB}$中， $A{D}^2=c^2-{(a-x)}^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2+2\mathit{ax}$

$\because a>0$， $x>0$

$\therefore 2\mathit{ax}>0$

$\therefore a^2+b^2>c^2$

$\therefore$当 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时， $a^2+b^2>c^2$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $\mathit{\Delta ABC}$为钝角三角形时， $a^2+b^2$与 $c^2$的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $\mathit{BC}$边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．