如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC120°，ABAC2，点

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 120 °$ ， $AB = AC = 2$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），在 $AC$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ ADE = 30 °$ ．

（1）求证： $ΔABD ∽ ΔDCE$ ；

（2）设 $BD = x$ ， $AE = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当 $ΔADE$ 是等腰三角形时，求 $AE$ 的长．

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问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．

[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌ ，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．
[实践运用]
（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．