初中数学三角形试题

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，对于 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $\angle \mathit{ATA}\text{'}=90°$ ，且 $\mathit{TA}=\mathit{TA}\text{'}$ ，则称 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M(-2,0)$ 、 $N(-1,0)$ ，点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y=-2x+1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B(2,0)$ 、 $C(0,-1)$ 、 $D(-2,-2)$ 中，点 $M$ 的关联点是 　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P\text{'}$ ，则点 $P\text{'}$ 的坐标是 　　；

（2）若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q\text{'}$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E(4,2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $\odot E$ 、 $\odot Q$ ．若对 $\odot E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $\odot Q$ 上总存在点 $G\text{'}$ ，使得 $G$ 、 $G\text{'}$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，动点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $B$的对应点 $M$始终落在边 $\mathit{AD}$上（点 $M$不与点 $A$、 $D$重合），点 $C$落在点 $N$处， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CD}$交于点 $P$，设 $\mathit{BE}=x$．

（1）当 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}$时，求 $x$的值；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AD}$上位置的变化， $\mathit{\Delta PDM}$的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形 $\mathit{BEFC}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数表达式，并求出 $S$的最小值．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEGF}$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{DE}$ ， $M$ 是 $\mathit{BF}$ 的中点，连接 $\mathit{AM}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的数量关系是 　　，位置关系是 　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $\mathit{AEGF}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ ，点 $G$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $\mathit{\Delta ABC}$是边长为2的等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$上一点，小亮以 $\mathit{BE}$为边向 $\mathit{BE}$的右侧作等边三角形 $\mathit{BEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时， $\mathit{EF}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，点 $F$也随着运动，若四边形 $\mathit{ABFC}$的面积为 $\frac{7}{4}\sqrt{3}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上运动时， $\mathit{CF}$、 $\mathit{BE}$相交于点 $D$，请你探求 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1$与 $\mathit{\Delta DBF}$的面积 $S_2$之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ， $\mathit{CD}$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $\mathit{BC}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta BDE}$ 沿 $\mathit{DE}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=a$ ．直接写出 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $\mathit{CE}$ 的异侧，连接 $\mathit{CF}$ ，如②，判断四边形 $\mathit{ADFC}$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ ，直接写出 $\angle \mathit{BDE}$ 的度数．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作 $\angle \mathit{BAC}$ 平分线的垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $\mathit{BC}$ 的中点是 $M$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{MD}$ ， $\mathit{ME}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CD}=2\mathit{ME}$

B．

$\mathit{ME}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{BD}=\mathit{CD}$

D．

$\mathit{ME}=\mathit{MD}$

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$在同一平面内，点 $C$， $D$不重合， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ABD}=30°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}$长为 　　．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，将矩形 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $\mathit{EH}$ 与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $P$ 时，求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $\mathit{CB}$ 的延长线上时， $\mathit{GH}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $\mathit{EF}$ 的垂直平分线上；

（3）当 $\mathit{AB}=5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $\mathit{AD}$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ，点 $D$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ ，将线段 $\mathit{CD}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $\alpha (60°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{ED}$ ，且 $\mathit{ED}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ， $\angle \mathit{CDE}$ 的平分线 $\mathit{DM}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =90°$ ，则线段 $\mathit{ED}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系是 　　， $\frac{\mathit{GD}}{\mathit{CD}}=$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①试判断四边形 $\mathit{CDEF}$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $\mathit{AC}=2$ ， $\tan (\alpha -60°)=m$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．