初中数学二次函数综合题试题

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-x^2+6x-5$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $P$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CP}$，过点 $C$作 $y$轴的垂线 $l$．

（1）求点 $P$， $C$的坐标；

（2）直线 $l$上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PBQ}$的面积等于 $\mathit{\Delta PAC}$的面积的2倍？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m+2$的图象与 $x$轴有两个交点．

（1）当 $m=-2$时，求二次函数的图象与 $x$轴交点的坐标；

（2）过点 $P(0,m-1)$作直线 $l\perp y$轴，二次函数图象的顶点 $A$在直线 $l$与 $x$轴之间（不包含点 $A$在直线 $l$上），求 $m$的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 $l$相交于点 $B$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积最大时 $m$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，且此抛物线的顶点坐标为 $M(-1,4)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点 $D$为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 $\mathit{\Delta ACD}$与 $\mathit{\Delta ACB}$面积相等时，求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$在线段 $\mathit{AM}$上，当 $\mathit{PC}$与 $y$轴垂直时，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，将 $\mathit{\Delta PCE}$沿直线 $\mathit{CE}$翻折，使点 $P$的对应点 $P\text{'}$与 $P$、 $E$、 $C$处在同一平面内，请求出点 $P\text{'}$坐标，并判断点 $P\text{'}$是否在该抛物线上．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图1，图形 $\mathit{ABCD}$是由两个二次函数 $y_1=k{x}^2+m(k<0)$与 $y_2=a{x}^2+b(a>0)$的部分图象围成的封闭图形．已知 $A(1,0)$、 $B(0,1)$、 $D(0,-3)$．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $\mathit{ABCD}$是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $\mathit{ABCD}$上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta BDC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$相似（其中点 $C$与点 $E$是对应顶点）的点 $E$的坐标．

若抛物线 $L：y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a，b，c是常数， $\mathit{abc}\ne 0$）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线 $y＝\mathit{mx}+1$与抛物线 $y＝x^2-2x+n$具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 $y＝\frac{6}{x}$的图象上，它的“带线”l的解析式为 $y＝2x-4$，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足 $\frac{1}{2}\le k\le 2$时，求抛物线 $L：y＝a{x}^2+（3k^2﹣2k+1）x+k$的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

已知抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}-3$经过 $\mathit{（﹣}1，0）$， $（3，0）$两点，与y轴交于点C，直线 $y＝\mathit{kx}$与抛物线交于A，B两点．

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 $\frac{3\sqrt{10}}{2}$？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，顶点为 $A(\sqrt{3},1)$的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△\mathit{OCD}≌△\mathit{OAB}$；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$交 $x$轴正半轴于点 $A$，直线 $y=2x$经过抛物线的顶点 $M$．已知该抛物线的对称轴为直线 $x=2$，交 $x$轴于点 $B$．

（1）求 $a$， $b$的值．

（2） $P$是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{BP}$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta OBP}$的面积为 $S$，记 $K=\frac{S}{m}$．求 $K$关于 $m$的函数表达式及 $K$的范围．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

如图1，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a<0)$过点 $E(10,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左边），点 $C$， $D$在抛物线上．设 $A(t,0)$，当 $t=2$时， $\mathit{AD}=4$．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$为何值时，矩形 $\mathit{ABCD}$的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t=2$时的矩形 $\mathit{ABCD}$不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$， $H$，且直线 $\mathit{GH}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，二次函数 $y\mathit{＝（}x+2{）}^2+m$的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足 $（x+2{）}^2+m\ge \mathit{kx}+b$的x的取值范围．