初中数学

如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 为正方形,点 A B x 轴上,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过点 B D ( - 4 , 5 ) 两点,且与直线 DC 交于另一点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2) F 为抛物线对称轴上一点, Q 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点 Q F E B 为顶点的四边形是以 BE 为边的菱形.若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3) P y 轴上一点,过点 P 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 M ,连接 ME BP ,探究 EM + MP + PB 是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖北省恩施州中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + 3 2 x + c x 轴交于点 A B ,与 y 轴交于点 C ,已知 A C 两点坐标分别是 A ( 1 , 0 ) C ( 0 , 2 ) ,连接 AC BC

(1)求抛物线的表达式和 AC 所在直线的表达式;

(2)将 ΔABC 沿 BC 所在直线折叠,得到 ΔDBC ,点 A 的对应点 D 是否落在抛物线的对称轴上,若点 D 在对称轴上,请求出点 D 的坐标;若点 D 不在对称轴上,请说明理由;

(3)若点 P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接 AP BC 于点 Q ,连接 BP ΔBPQ 的面积记为 S 1 ΔABQ 的面积记为 S 2 ,求 S 1 S 2 的值最大时点 P 的坐标.

来源:2021年山东省聊城市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + 4 ( a 0 ) x 轴交于点 A ( 1 , 0 ) B ,与 y 轴交于点 C ,对称轴为直线 x = 5 2

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若点 P 是线段 BC 上的一个动点(不与点 B C 重合),过点 P y 轴的平行线交抛物线于点 Q ,连接 OQ ,当线段 PQ 长度最大时,判断四边形 OCPQ 的形状并说明理由;

(3)如图2,在(2)的条件下, D OC 的中点,过点 Q 的直线与抛物线交于点 E ,且 DQE = 2 ODQ .在 y 轴上是否存在点 F ,得 ΔBEF 为等腰三角形?若存在,求点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年四川省南充市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图所示,抛物线与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C ,且 OA = 2 OB = 4 OC = 8 ,抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M ,与 x 轴交于点 N

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点 P 是对称轴上的一个动点,是否存在以 P C M 为顶点的三角形与 ΔMNB 相似?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由;

(3) D CO 的中点,一个动点 G D 点出发,先到达 x 轴上的点 E ,再走到抛物线对称轴上的点 F ,最后返回到点 C .要使动点 G 走过的路程最短,请找出点 E F 的位置,写出坐标,并求出最短路程.

(4)点 Q 是抛物线上位于 x 轴上方的一点,点 R x 轴上,是否存在以点 Q 为直角顶点的等腰 Rt Δ CQR ?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖南省怀化市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + 5 ( a 0 ) x 轴交于点 A ( - 5 , 0 ) ,点 B ( 1 , 0 ) (点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C ,点 D 为抛物线的顶点,连接 BD .直线 y = - 1 2 x - 5 2 经过点 A ,且与 y 轴交于点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2)点 N 是抛物线上的一点,当 ΔBDN 是以 DN 为腰的等腰三角形时,求点 N 的坐标;

(3)点 F 为线段 AE 上的一点,点 G 为线段 OA 上的一点,连接 FG ,并延长 FG 与线段 BD 交于点 H (点 H 在第一象限),当 EFG = 3 BAE HG = 2 FG 时,求出点 F 的坐标.

来源:2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴交于原点 O 和点 A ,且其顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为 ( 2 , 1 )

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴上存在定点 F ,使得抛物线 y = a x 2 + bx + c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y = - 2 的距离总相等.

①证明上述结论并求出点 F 的坐标;

②过点 F 的直线 l 与抛物线 y = a x 2 + bx + c 交于 M N 两点.

证明:当直线 l 绕点 F 旋转时, 1 MF + 1 NF 是定值,并求出该定值;

(3)点 C ( 3 , m ) 是该抛物线上的一点,在 x 轴, y 轴上分别找点 P Q ,使四边形 PQBC 周长最小,直接写出 P Q 的坐标.

来源:2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = a x 2 - 2 bx + b ( a 0 ) y 轴相交于点 C ( 0 , - 3 ) ,且抛物线的对称轴为 x = 3 D 为对称轴与 x 轴的交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 E F 两点,若 ΔDEF 是等腰直角三角形,求 ΔDEF 的面积;

(3)若 P ( 3 , t ) 是对称轴上一定点, Q 是抛物线上的动点,求 PQ 的最小值(用含 t 的代数式表示).

来源:2021年湖北省黄石市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = - 1 4 x 2 + 3 2 x + 4 与两坐标轴分别相交于 A B C 三点.

(1)求证: ACB = 90 °

(2)点 D 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 D x 轴的垂线交 BC 于点 E ,交 x 轴于点 F

①求 DE + BF 的最大值;

②点 G AC 的中点,若以点 C D E 为顶点的三角形与 ΔAOG 相似,求点 D 的坐标.

来源:2021年四川省泸州市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + 4 x 经过坐标原点,与 x 轴正半轴交于点 A ,点 M ( m , n ) 是抛物线上一动点.

(1)如图1,当 m > 0 n > 0 ,且 n = 3 m 时,

①求点 M 的坐标;

②若点 B ( 15 4 y ) 在该抛物线上,连接 OM BM C 是线段 BM 上一动点(点 C 与点 M B 不重合),过点 C CD / / MO ,交 x 轴于点 D ,线段 OD MC 是否相等?请说明理由;

(2)如图2,该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K ,点 E ( x , 7 3 ) 在对称轴上,当 m > 2 n > 0 ,且直线 EM x 轴的负半轴于点 F 时,过点 A x 轴的垂线,交直线 EM 于点 N G y 轴上一点,点 G 的坐标为 ( 0 , 18 5 ) ,连接 GF .若 EF + NF = 2 MF ,求证:射线 FE 平分 AFG

来源:2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-18
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 - 2 x + 1 ( a 0 ) 的对称轴为直线 x = 1

(1)求 a 的值;

(2)若点 M ( x 1 y 1 ) N ( x 2 y 2 ) 都在此抛物线上,且 - 1 < x 1 < 0 1 < x 2 < 2 .比较 y 1 y 2 的大小,并说明理由;

(3)设直线 y = m ( m > 0 ) 与抛物线 y = a x 2 - 2 x + 1 交于点 A B ,与抛物线 y = 3 ( x - 1 ) 2 交于点 C D ,求线段 AB 与线段 CD 的长度之比.

来源:2021年安徽省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-18
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = x 2 + bx + c x 轴交于 ( 3 , 0 ) B ( 1 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ,对称轴 l x 轴交于点 F ,直线 m / / AC ,点 E 是直线 AC 上方抛物线上一动点,过点 E EH m ,垂足为 H ,交 AC 于点 G ,连接 AE EC CH AH

(1)抛物线的解析式为   

(2)当四边形 AHCE 面积最大时,求点 E 的坐标;

(3)在(2)的条件下,连接 EF ,点 P x 轴上一动点,在抛物线上是否存在点 Q ,使得以 F E P Q 为顶点,以 EF 为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

来源:2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知二次函数 y = - x 2 + 6 x - 5

(1)求二次函数图象的顶点坐标;

(2)当 1 x 4 时,函数的最大值和最小值分别为多少?

(3)当 t x t + 3 时,函数的最大值为 m ,最小值为 n ,若 m - n = 3 ,求 t 的值.

来源:2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

二次函数 y = x 2 - 2 mx 的图象交 x 轴于原点 O 及点 A

感知特例

(1)当 m = 1 时,如图1,抛物线 L : y = x 2 - 2 x 上的点 B O C A D 分别关于点 A 中心对称的点为 B ' O ' C ' A ' D ' ,如表:

B ( - 1 , 3 )

O ( 0 , 0 )

C ( 1 , - 1 )

A (      )

D ( 3 , 3 )

B ' ( 5 , - 3 )

O ' ( 4 , 0 )

C ' ( 3 , 1 )

A ' ( 2 , 0 )

D ' ( 1 , - 3 )

①补全表格;

②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为 L '

形成概念

我们发现形如(1)中的图象 L ' 上的点和抛物线 L 上的点关于点 A 中心对称,则称 L ' L 的“孔像抛物线”.例如,当 m = - 2 时,图2中的抛物线 L ' 是抛物线 L 的“孔像抛物线”.

探究问题

(2)①当 m = - 1 时,若抛物线 L 与它的“孔像抛物线” L ' 的函数值都随着 x 的增大而减小,则 x 的取值范围为   

②在同一平面直角坐标系中,当 m 取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y = x 2 - 2 mx 的所有“孔像抛物线” L ' 都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是   (填“ y = a x 2 + bx + c ”或“ y = a x 2 + bx ”或“ y = a x 2 + c ”或“ y = a x 2 ”,其中 abc 0 )

③若二次函数 y = x 2 - 2 mx 及它的“孔像抛物线”与直线 y = m 有且只有三个交点,求 m 的值.

来源:2021年江西省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C

(1) b =    c =   

(2)若点 D 在该二次函数的图象上,且 S ΔABD = 2 S ΔABC ,求点 D 的坐标;

(3)若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点,且 S ΔAPC = S ΔAPB ,写出点 P 的坐标.

来源:2021年江苏省扬州市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 y = - x + 3 x 轴交于点 B ,与 y 轴交于点 C ,二次函数 y = a x 2 + 2 x + c 的图象过 B C 两点,且与 x 轴交于另一点 A ,点 M 为线段 OB 上的一个动点,过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交 BC 于点 F ,交二次函数 y = a x 2 + 2 x + c 的图象于点 E

(1)求二次函数的表达式;

(2)当以 C E F 为顶点的三角形与 ΔABC 相似时,求线段 EF 的长度;

(3)已知点 N y 轴上的点,若点 N F 关于直线 EC 对称,求点 N 的坐标.

来源:2021年江苏省无锡市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学二次函数综合题试题