初中数学待定系数法求二次函数解析式计算题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 经过点 $A(1,0)$ 和点 $B(5,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线 $y=\frac{3}{5}x+3$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $P$ 是抛物线上的动点且位于 $x$ 轴下方，直线 $\mathit{PM}//y$ 轴，分别与 $x$ 轴和直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

①连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{PD}$ ，如图1，在点 $P$ 运动过程中， $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}\perp \mathit{PM}$ ，垂足为点 $Q$ ，如图2，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta CNQ}$ 与 $\mathit{\Delta PBM}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(1,0)$， $B(m,0)$，与 $y$轴交于 $C$．

（1）若 $m=-3$，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交 $x$轴于 $D$，在对称轴左侧的抛物线上有一点 $E$，使 $S_{\mathit{\Delta ACE}}=\frac{10}{3}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设 $F(-1,-4)$， $\mathit{FG}\perp y$轴于 $G$，在线段 $\mathit{OG}$上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{OBP}=\angle \mathit{FPG}$？若存在，求 $m$的取值范围；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$ ， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $H$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上任意一点，过 $H$ 作直线 $\mathit{HN}\perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，求线段 $\mathit{PH}$ 的最大值；

（3）点 $M$ 是抛物线上任意一点，连接 $\mathit{CM}$ ，以 $\mathit{CM}$ 为边作正方形 $\mathit{CMEF}$ ，是否存在点 $M$ 使点 $E$ 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 和 $\mathit{BC}$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $\mathit{DEFP}$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $\mathit{CP}$ ， $\mathit{CD}$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta DCE}$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

直线 $y=-\frac{3}{2}x+3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $B$，顶点为 $D$的抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+2\mathit{mx}-3m$经过点 $A$，交 $x$轴于另一点 $C$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点 $A$， $C$， $D$的坐标；

（2）动点 $P$在 $\mathit{BD}$上以每秒2个单位长的速度由点 $B$向点 $D$运动，同时动点 $Q$在 $\mathit{CA}$上以每秒3个单位长的速度由点 $C$向点 $A$运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒． $\mathit{PQ}$交线段 $\mathit{AD}$于点 $E$．

①当 $\angle \mathit{DPE}=\angle \mathit{CAD}$时，求 $t$的值；

②过点 $E$作 $\mathit{EM}\perp \mathit{BD}$，垂足为点 $M$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{AB}$或 $\mathit{AD}$于点 $N$，当 $\mathit{PN}=\mathit{EM}$时，求 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于原点及点 $A$，且经过点 $B(4,8)$，对称轴为直线 $x=-2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线 $y=\mathit{kx}+4$与抛物线两交点的横坐标分别为 $x_1$， $x_2(x_1<x_2)$，当 $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2}$时，求 $k$的值；

（3）连接 $\mathit{OB}$，点 $P$为 $x$轴下方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{OB}$的平行线交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$，当 $S_{\mathit{\Delta POQ}}:S_{\mathit{\Delta BOQ}}=1:2$时，求出点 $P$的坐标．

（坐标平面内两点 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$之间的距离 $\mathit{MN}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2})$

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

已知抛物线 $y=a{(x-1)}^2$过点 $(3,1)$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$、 $C$均在抛物线上，其中点 $B(0,\frac{1}{4})$，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求点 $C$的坐标；

（3）如图，直线 $y=\mathit{kx}+4-k$与抛物线交于 $P$、 $Q$两点．

①求证： $\angle \mathit{PDQ}=90°$；

②求 $\mathit{\Delta PDQ}$面积的最小值．