初中数学待定系数法求二次函数解析式计算题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$过 $B(-2,6)$， $C(2,2)$两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积；

（3）若直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移 $b$个单位所得的直线与抛物线段 $\mathit{BDC}$（包括端点 $B$、 $C)$部分有两个交点，求 $b$的取值范围．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．点 $D$在函数图象上， $\mathit{CD}//x$轴，且 $\mathit{CD}=2$，直线 $l$是抛物线的对称轴， $E$是抛物线的顶点．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图①，连接 $\mathit{BE}$，线段 $\mathit{OC}$上的点 $F$关于直线 $l$的对称点 $F^{\text{'}}$恰好在线段 $\mathit{BE}$上，求点 $F$的坐标；

（3）如图②，动点 $P$在线段 $\mathit{OB}$上，过点 $P$作 $x$轴的垂线分别与 $\mathit{BC}$交于点 $M$，与抛物线交于点 $N$．试问：抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta PQN}$与 $\mathit{\Delta APM}$的面积相等，且线段 $\mathit{NQ}$的长度最小？如果存在，求出点 $Q$的坐标；如果不存在，说明理由．

如图1（注：与图2完全相同），二次函数 $y=\frac{4}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta ACD}$的面积（请在图1中探索）；

（3）若点 $P$， $Q$同时从 $A$点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $P$， $Q$运动到 $t$秒时， $\mathit{\Delta APQ}$沿 $\mathit{PQ}$所在的直线翻折，点 $A$恰好落在抛物线上 $E$点处，请直接判定此时四边形 $\mathit{APEQ}$的形状，并求出 $E$点坐标（请在图2中探索）．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移 $\frac{15}{4}$个单位长度，再向左平移 $h(h>0)$个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点 $D\text{'}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，求 $h$的取值范围；

（3）点 $P$为线段 $\mathit{BC}$上一动点（点 $P$不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线交（1）中的抛物线于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PQC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似时，求 $\mathit{\Delta PQC}$的面积．

在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{ABOC}$如图放置，点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(0,4)$、 $(-1,0)$，将此平行四边形绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到平行四边形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$．

（1）若抛物线经过点 $C$、 $A$、 $A\text{'}$，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$在何处时， $\mathit{\Delta AMA}\text{'}$的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$为抛物线上一动点， $N$为 $x$轴上的一动点，点 $Q$坐标为 $(1,0)$，当 $P$、 $N$、 $B$、 $Q$构成平行四边形时，求点 $P$的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$的坐标．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(-1,3)$，顶点 $B$的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$在该二次函数的图象上，点 $Q$在 $x$轴上，若以 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与该二次函数的图象交于 $O$、 $C$两点，点 $T$为该二次函数图象上位于直线 $\mathit{OC}$下方的动点，过点 $T$作直线 $\mathit{TM}\perp \mathit{OC}$，垂足为点 $M$，且 $M$在线段 $\mathit{OC}$上（不与 $O$、 $C$重合），过点 $T$作直线 $\mathit{TN}//y$轴交 $\mathit{OC}$于点 $N$．若在点 $T$运动的过程中， $\frac{O{N}^2}{\mathit{OM}}$为常数，试确定 $k$的值．

如图，已知直线 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{3}{2})$，交 $x$轴正半轴于 $D$点，抛物线的顶点为 $M$．

（1）求抛物线的解析式及点 $M$的坐标；

（2）设点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta PAB}$的面积最大时，求此时 $\mathit{\Delta PAB}$的面积及点 $P$的坐标；

（3）点 $Q$为 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一点，当 $\mathit{\Delta QMN}\backsim \mathit{\Delta MAD}$（点 $Q$与点 $M$对应），求 $Q$点坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

已知， $m$， $n$是一元二次方程 $x^2+4x+3=0$的两个实数根，且 $\left|m\right|<\left|n\right|$，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(m,0)$， $B(0,n)$，如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $C$，抛物线的顶点为 $D$，试求出点 $C$， $D$的坐标，并判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $M$，点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上，距离点 $P$为 $\sqrt{2}$个单位长度，设点 $P$的横坐标为 $t$， $\mathit{\Delta PMQ}$的面积为 $S$，求出 $S$与 $t$之间的函数关系式．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2,0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $\mathit{BD}$ 垂直于直线 $y=-1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k=0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．