初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P$、 $Q$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似，请直接写出点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $(1,m)$和点 $(3,n)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$上．

（1）若 $m=3$， $n=15$，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(-1,y_1)$， $(2,y_2)$， $(4,y_3)$在该抛物线上．若 $\mathit{mn}<0$，比较 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小，并说明理由．

已知抛物线 $y=a{(x-1)}^2+h$经过点 $(0,-3)$和 $(3,0)$．

（1）求 $a$、 $h$的值；

（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．

已知函数（为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为和，且，求此函数的解析式．

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，交y轴于E．

（1）求此抛物线的表达式．
（2）若直线y=x＋1与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

下表中 $y$与 $x$的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为　 　．

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	3	$\dots$
$y$	$\dots$	0	3	4	0	$\dots$

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a\ne 0)$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表：

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	0	2
$y$	6	0	$-6$	$-4$	6

下列结论：

① $a>0$ ；

②当 $x=-2$ 时，函数最小值为 $-6$ ；

③若点 $(-8,y_1)$ ，点 $(8,y_2)$ 在二次函数图象上，则 $y_1<y_2$ ；

④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=-5$ 有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是 　    　．（把所有正确结论的序号都填上）

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,4)$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，分别过点 $C$ 、 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于 $E$ 、 $F$ 两点．当四边形 $\mathit{CDFE}$ 为正方形时，线段 $\mathit{CD}$ 的长为 　　．

在"探索函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系"活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A(0,2)$ ， $B(1,0)$ ， $C(3,1)$ ， $D(2,3)$ ．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{5}{6}$

D．

$\frac{1}{2}$

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a$ 的图象经过点 $C(0,2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $\mathit{BC}$ ，直线 $y=\mathit{kx}+1(k>0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．