初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{OB}$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似时，求线段 $\mathit{EF}$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A(-3,0)$ 和 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{CB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBC}$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{\text{'}}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 与四边形 $\mathit{AOCD}$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M(m,n)$ 向直线 $l:y=\frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $\mathit{ME}-\mathit{MF}=\frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿 $\mathit{BC}$所在的直线翻折，得到 $\mathit{\Delta DBC}$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）用含 $a$的代数式表示点 $C$的坐标．

（2）如图1，若点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $\mathit{\Delta OBD}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta OAC}$的面积为 $S_2$，若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}$，求 $a$的值．

如图，抛物线 $y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $\mathit{BO}=3\mathit{AO}=3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$ 的函数解析式；

（3）点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $\mathit{BA}$ 上．当 $\mathit{\Delta ABD}$ 与 $\mathit{\Delta BPQ}$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

如图1，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $B$坐标为 $(3,0)$，点 $C$坐标为 $(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $M$为该抛物线的顶点，直线 $\mathit{MD}\perp x$轴于点 $D$，在直线 $\mathit{MD}$上是否存在点 $N$，使点 $N$到直线 $\mathit{MC}$的距离等于点 $N$到点 $A$的距离？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2,0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $\mathit{BD}$ 垂直于直线 $y=-1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k=0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$， $\mathit{OB}=4\mathit{OA}$， $\tan \angle \mathit{BCO}=2$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AB}$上的动点，点 $M$从点 $B$出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位的速度向点 $C$运动，同时点 $N$从点 $A$出发以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，当点 $M$、 $N$中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $P$．设点 $M$、点 $N$的运动时间为 $t\left(s\right)$，当 $t$为多少时， $\mathit{\Delta PNE}$是等腰三角形？

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$是 $y$轴上的一点，且以 $B$， $C$， $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，求点 $D$的坐标；

（3）如图2， $\mathit{CE}//x$轴与抛物线相交于点 $E$，点 $H$是直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的动点，过点 $H$且与 $y$轴平行的直线与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CE}$分别相交于点 $F$， $G$，试探究当点 $H$运动到何处时，四边形 $\mathit{CHEF}$的面积最大，求点 $H$的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$为抛物线的顶点，点 $M(4,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQKM}$的周长最小，求出点 $P$， $Q$的坐标．