初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-6x+c$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$、 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-5)$，点 $P$是抛物线上的动点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$， $\mathit{PC}$与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点 $P$的坐标为 $(-2,3)$，请求出此时 $\mathit{\Delta APC}$的面积；

（3）过点 $P$作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点 $H$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $E$，如图2．

①若 $\angle \mathit{APE}=\angle \mathit{CPE}$，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}=\frac{3}{7}$；

② $\mathit{\Delta APE}$能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,-3)$．点 $P$为抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的一个动点．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）设点 $F$在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACF}$的周长最小时，直接写出点 $F$的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$，使点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离是点 $D$到直线 $\mathit{BC}$的距离的5倍？若存在，求出点 $P$所有的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与 $x$轴分别交于原点 $O$和点 $F(10,0)$，与对称轴 $l$交于点 $E(5,5)$．矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴正半轴上，且 $\mathit{AB}=1$，边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$与抛物线分别交于点 $M$， $N$．当矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $x$轴正方向平移，点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的同侧时，连接 $\mathit{MN}$，此时，四边形 $\mathit{ABNM}$的面积记为 $S$；点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的两侧时，连接 $\mathit{EM}$， $\mathit{EN}$，此时五边形 $\mathit{ABNEM}$的面积记为 $S$．将点 $A$与点 $O$重合的位置作为矩形 $\mathit{ABCD}$平移的起点，设矩形 $\mathit{ABCD}$平移的长度为 $t(0⩽t⩽5)$．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 $t=0$时，求 $S_{\mathit{\Delta OBN}}$的值；

（3）当矩形 $\mathit{ABCD}$沿着 $x$轴的正方向平移时，求 $S$关于 $t(0<t⩽5)$的函数表达式，并求出 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$， $\mathit{OB}=4\mathit{OA}$， $\tan \angle \mathit{BCO}=2$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AB}$上的动点，点 $M$从点 $B$出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位的速度向点 $C$运动，同时点 $N$从点 $A$出发以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，当点 $M$、 $N$中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $P$．设点 $M$、点 $N$的运动时间为 $t\left(s\right)$，当 $t$为多少时， $\mathit{\Delta PNE}$是等腰三角形？

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．