如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交 轴于点 和 ,交 轴于点 ,抛物线的对称轴交 轴于点 ,交抛物线于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ,旋转角为 ,连接 , ,求 的最小值;
(3) 为平面直角坐标系中一点,在抛物线上是否存在一点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形为矩形?若存在,请写出点 的横坐标;若不存在,请说明理由.
学习了图形的旋转之后,小明知道,将点 绕着某定点 顺时针旋转一定的角度 ,能得到一个新的点 ,经过进一步探究,小明发现,当上述点 在某函数图象上运动时,点 也随之运动,并且点 的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点 的坐标、角度 的大小来解决相关问题.
【初步感知】
如图1,设 , ,点 是一次函数 图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点 .
(1)点 旋转后,得到的点 的坐标为 ;
(2)若点 的运动轨迹经过点 ,求原一次函数的表达式.
【深入感悟】
如图2,设 , ,点 是反比例函数 的图象上的动点,过点 作二、四象限角平分线的垂线,垂足为 ,求 的面积.
【灵活运用】
如图3,设 , ,点 是二次函数 图象上的动点,已知点 、 ,试探究 的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
已知直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,二次函数的图象过 , 两点,交 轴于另一点 , ,且对于该二次函数图象上的任意两点 , , , ,当 时,总有 .
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线 ,求证:当 时, ;
(3) 为线段 上不与端点重合的点,直线 过点 且交直线 于点 ,求 与 面积之和的最小值.
将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中,点 ,点 ,点 在第一象限, , ,点 在边 上(点 不与点 , 重合).
(Ⅰ)如图①,当 时,求点 的坐标;
(Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 ,并与 轴的正半轴相交于点 ,且 ,点 的对应点为 ,设 .
①如图②,若折叠后△ 与 重叠部分为四边形, , 分别与边 相交于点 , ,试用含有 的式子表示 的长,并直接写出 的取值范围;
②若折叠后△ 与 重叠部分的面积为 ,当 时,求 的取值范围(直接写出结果即可).
如图(1)放置两个全等的含有 角的直角三角板 与 ,若将三角板 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点 与点 重合时移动终止),移动过程中始终保持点 、 、 、 在同一条直线上,如图(2), 与 、 分别交于点 、 , 与 交于点 ,其中 ,设三角板 移动时间为 秒.
(1)在移动过程中,试用含 的代数式表示 的面积;
(2)计算 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?
如图1,四边形 是矩形,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,点 从点 出发,沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动,当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.
(1)当 时,线段 的中点坐标为 ;
(2)当 与 相似时,求 的值;
(3)当 时,抛物线 经过 , 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点为 ,如图2所示,问该抛物线上是否存在点 ,使 ?若存在,求出所有满足条件的 的坐标;若不存在,说明理由.
如图①,在平面直角坐标系 中,抛物线 经过点 、 两点,且与 轴交于点 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于 轴,并沿 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 、 两点(点 在点 的左侧),连接 ,在线段 上方抛物线上有一动点 ,连接 、 .
(Ⅰ)若点 的横坐标为 ,求 面积的最大值,并求此时点 的坐标;
(Ⅱ)直尺在平移过程中, 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
如图,在矩形 中, ,点 在边 上,连接 ,以 为边向右上方作正方形 ,作 ,垂足为 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)当 为何值时, 的面积最大?
如图, 是 的内接三角形,点 在 上,点 在弦 上 不与 重合),且四边形 为菱形.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)已知 的半径为3.
①若 ,求 的长;
②当 为何值时, 的值最大?
如图,在正方形 中,点 在边 上(不与点 , 重合),连接 ,作 于点 , 于点 ,设 .
(1)求证: .
(2)连接 , ,设 , .求证: .
(3)设线段 与对角线 交于点 , 和四边形 的面积分别为 和 ,求 的最大值.
如图1,在平面直角坐标系中,直线 分别与 轴、 轴交于点 , , ,等边 的顶点 与原点 重合, 边落在 轴正半轴上,点 恰好落在线段 上,将等边 从图1的位置沿 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,边 , 分别与线段 交于点 , (如图2所示),设 平移的时间为 .
(1)等边 的边长为 ;
(2)在运动过程中,当 时, 垂直平分 ;
(3)若在 开始平移的同时.点 从 的顶点 出发.以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动.当点 运动到 时即停止运动. 也随之停止平移.
①当点 在线段 上运动时,若 与 相似.求 的值;
②当点 在线段 上运动时,设 ,求 与 的函数关系式,并求出 的最大值及此时点 的坐标.
如图1,抛物线 与 相交于点 、 , 与 分别交 轴于点 、 ,且 为线段 的中点.
(1)求 的值;
(2)若 ,求 的面积;
(3)抛物线 的对称轴为 ,顶点为 ,在(2)的条件下:
①点 为抛物线 对称轴 上一动点,当 的周长最小时,求点 的坐标;
②如图2,点 在抛物线 上点 与点 之间运动,四边形 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点 的坐标;若不存在,请说明理由.
设 、 是任意两个实数,用 , 表示 、 两数中较大者,例如: , , , , , ,参照上面的材料,解答下列问题:
(1) , , , ;
(2)若 , ,求 的取值范围;
(3)求函数 与 的图象的交点坐标,函数 的图象如图所示,请你在图中作出函数 的图象,并根据图象直接写出 , 的最小值.
已知抛物线 G: y= mx 2﹣2 mx﹣3有最低点.
(1)求二次函数 y= mx 2﹣2 mx﹣3的最小值(用含 m的式子表示);
(2)将抛物线 G向右平移 m个单位得到抛物线 G 1.经过探究发现,随着 m的变化,抛物线 G 1顶点的纵坐标 y与横坐标 x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量 x的取值范围;
(3)记(2)所求的函数为 H,抛物线 G与函数 H的图象交于点 P,结合图象,求点 P的纵坐标的取值范围.