初中数学

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + bx + c x 轴于点 A C ( 1 , 0 ) ,交 y 轴于点 B ( 0 , 3 ) ,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,交抛物线于点 F

(1)求抛物线的解析式;

(2)将线段 OE 绕着点 O 沿顺时针方向旋转得到线段 O E ' ,旋转角为 α ( 0 ° < α < 90 ° ) ,连接 AE ' BE ' ,求 BE ' + 1 3 AE ' 的最小值;

(3) M 为平面直角坐标系中一点,在抛物线上是否存在一点 N ,使得以 A B M N 为顶点的四边形为矩形?若存在,请写出点 N 的横坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年四川省达州市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-11
  • 题型:未知
  • 难度:未知

学习了图形的旋转之后,小明知道,将点 P 绕着某定点 A 顺时针旋转一定的角度 α ,能得到一个新的点 P ' ,经过进一步探究,小明发现,当上述点 P 在某函数图象上运动时,点 P ' 也随之运动,并且点 P ' 的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点 A 的坐标、角度 α 的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设 A ( 1 , 1 ) α = 90 ° ,点 P 是一次函数 y = kx + b 图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点 P 1 ( - 1 , 1 )

(1)点 P 1 旋转后,得到的点 P 1 ' 的坐标为   ( 1 , 3 )  

(2)若点 P ' 的运动轨迹经过点 P 2 ' ( 2 , 1 ) ,求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设 A ( 0 , 0 ) α = 45 ° ,点 P 是反比例函数 y = - 1 x ( x < 0 ) 的图象上的动点,过点 P ' 作二、四象限角平分线的垂线,垂足为 M ,求 ΔOMP ' 的面积.

【灵活运用】

如图3,设 A ( 1 , - 3 ) α = 60 ° ,点 P 是二次函数 y = 1 2 x 2 + 2 3 x + 7 图象上的动点,已知点 B ( 2 , 0 ) C ( 3 , 0 ) ,试探究 ΔBCP ' 的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.

来源:2021年江苏省盐城市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知直线 l 1 : y = - 2 x + 10 y 轴于点 A ,交 x 轴于点 B ,二次函数的图象过 A B 两点,交 x 轴于另一点 C BC = 4 ,且对于该二次函数图象上的任意两点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) ,当 x 1 > x 2 5 时,总有 y 1 > y 2

(1)求二次函数的表达式;

(2)若直线 l 2 : y = mx + n ( n 10 ) ,求证:当 m = - 2 时, l 2 / / l 1

(3) E 为线段 BC 上不与端点重合的点,直线 l 3 : y = - 2 x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F ,求 ΔABE ΔCEF 面积之和的最小值.

来源:2020年福建省中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中,点 O ( 0 , 0 ) ,点 A ( 2 , 0 ) ,点 B 在第一象限, OAB = 90 ° B = 30 ° ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O B 重合).

(Ⅰ)如图①,当 OP = 1 时,求点 P 的坐标;

(Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P ,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ,且 OQ = OP ,点 O 的对应点为 O ' ,设 OP = t

①如图②,若折叠后△ O ' PQ ΔOAB 重叠部分为四边形, O ' P O ' Q 分别与边 AB 相交于点 C D ,试用含有 t 的式子表示 O ' D 的长,并直接写出 t 的取值范围;

②若折叠后△ O ' PQ ΔOAB 重叠部分的面积为 S ,当 1 t 3 时,求 S 的取值范围(直接写出结果即可).

来源:2020年天津市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图(1)放置两个全等的含有 30 ° 角的直角三角板 ABC DEF ( B = E = 30 ° ) ,若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点 C 与点 E 重合时移动终止),移动过程中始终保持点 B F C E 在同一条直线上,如图(2), AB DF DE 分别交于点 P M AC DE 交于点 Q ,其中 AC = DF = 3 ,设三角板 ABC 移动时间为 x 秒.

(1)在移动过程中,试用含 x 的代数式表示 ΔAMQ 的面积;

(2)计算 x 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?

来源:2020年宁夏中考数学试卷
  • 更新:2021-05-25
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,四边形 OABC 是矩形,点 A 的坐标为 ( 3 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 6 ) ,点 P 从点 O 出发,沿 OA 以每秒1个单位长度的速度向点 A 运动,同时点 Q 从点 A 出发,沿 AB 以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动,当点 P 与点 A 重合时运动停止.设运动时间为 t 秒.

(1)当 t = 2 时,线段 PQ 的中点坐标为  

(2)当 ΔCBQ ΔPAQ 相似时,求 t 的值;

(3)当 t = 1 时,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过 P Q 两点,与 y 轴交于点 M ,抛物线的顶点为 K ,如图2所示,问该抛物线上是否存在点 D ,使 MQD = 1 2 MKQ ?若存在,求出所有满足条件的 D 的坐标;若不存在,说明理由.

来源:2018年江苏省扬州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-25
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图①,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = a x 2 + bx + 3 经过点 A ( 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,且与 y 轴交于点 C

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于 x 轴,并沿 x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P Q 两点(点 P 在点 Q 的左侧),连接 PQ ,在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D ,连接 DP DQ

(Ⅰ)若点 P 的横坐标为 1 2 ,求 ΔDPQ 面积的最大值,并求此时点 D 的坐标;

(Ⅱ)直尺在平移过程中, ΔDPQ 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.

来源:2018年江苏省盐城市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-25
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在矩形 ABCD 中, AD = 4 ,点 E 在边 AD 上,连接 CE ,以 CE 为边向右上方作正方形 CEFG ,作 FH AD ,垂足为 H ,连接 AF

(1)求证: FH = ED

(2)当 AE 为何值时, ΔAEF 的面积最大?

来源:2018年江苏省徐州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-25
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图, ΔABC O 的内接三角形,点 D BC ̂ 上,点 E 在弦 AB ( E 不与 A 重合),且四边形 BDCE 为菱形.

(1)求证: AC = CE

(2)求证: B C 2 A C 2 = AB · AC

(3)已知 O 的半径为3.

①若 AB AC = 5 3 ,求 BC 的长;

②当 AB AC 为何值时, AB · AC 的值最大?

来源:2018年浙江省台州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在正方形 ABCD 中,点 G 在边 BC 上(不与点 B C 重合),连接 AG ,作 DE AG 于点 E BF AG 于点 F ,设 BG BC = k

(1)求证: AE = BF

(2)连接 BE DF ,设 EDF = α EBF = β .求证: tan α = k tan β

(3)设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H ΔAHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S 1 S 2 ,求 S 2 S 1 的最大值.

来源:2018年浙江省杭州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在平面直角坐标系中,直线 MN 分别与 x 轴、 y 轴交于点 M ( 6 , 0 ) N ( 0 2 3 ) ,等边 ΔABC 的顶点 B 与原点 O 重合, BC 边落在 x 轴正半轴上,点 A 恰好落在线段 MN 上,将等边 ΔABC 从图1的位置沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,边 AB AC 分别与线段 MN 交于点 E F (如图2所示),设 ΔABC 平移的时间为 t ( s )

(1)等边 ΔABC 的边长为  

(2)在运动过程中,当 t =   时, MN 垂直平分 AB

(3)若在 ΔABC 开始平移的同时.点 P ΔABC 的顶点 B 出发.以每秒2个单位长度的速度沿折线 BA AC 运动.当点 P 运动到 C 时即停止运动. ΔABC 也随之停止平移.

①当点 P 在线段 BA 上运动时,若 ΔPEF ΔMNO 相似.求 t 的值;

②当点 P 在线段 AC 上运动时,设 S ΔPEF = S ,求 S t 的函数关系式,并求出 S 的最大值及此时点 P 的坐标.

来源:2017年四川省攀枝花市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,抛物线 C 1 : y = x 2 + ax C 2 : y = x 2 + bx 相交于点 O C C 1 C 2 分别交 x 轴于点 B A ,且 B 为线段 AO 的中点.

(1)求 a b 的值;

(2)若 OC AC ,求 ΔOAC 的面积;

(3)抛物线 C 2 的对称轴为 l ,顶点为 M ,在(2)的条件下:

①点 P 为抛物线 C 2 对称轴 l 上一动点,当 ΔPAC 的周长最小时,求点 P 的坐标;

②如图2,点 E 在抛物线 C 2 上点 O 与点 M 之间运动,四边形 OBCE 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2017年四川省乐山市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

a b 是任意两个实数,用 max { a b } 表示 a b 两数中较大者,例如: max { 1 1 } = 1 max { 1 2 } = 2 max { 4 3 } = 4 ,参照上面的材料,解答下列问题:

(1) max { 5 2 } =    max { 0 3 } =   

(2)若 max { 3 x + 1 x + 1 } = x + 1 ,求 x 的取值范围;

(3)求函数 y = x 2 2 x 4 y = x + 2 的图象的交点坐标,函数 y = x 2 2 x 4 的图象如图所示,请你在图中作出函数 y = x + 2 的图象,并根据图象直接写出 max { x + 2 x 2 2 x 4 } 的最小值.

来源:2017年湖南省郴州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-07
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 Gymx 2﹣2 mx﹣3有最低点.

(1)求二次函数 ymx 2﹣2 mx﹣3的最小值(用含 m的式子表示);

(2)将抛物线 G向右平移 m个单位得到抛物线 G 1.经过探究发现,随着 m的变化,抛物线 G 1顶点的纵坐标 y与横坐标 x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量 x的取值范围;

(3)记(2)所求的函数为 H,抛物线 G与函数 H的图象交于点 P,结合图象,求点 P的纵坐标的取值范围.

来源:2019年广东省广州市中考数学试卷
  • 更新:2021-04-13
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系 xOy 中,函数 F 1 F 2 的图象关于 y 轴对称,它们与直线 x = t ( t > 0 ) 分别相交于点 P Q

(1)如图,函数 F 1 y = x + 1 ,当 t = 2 时, PQ 的长为    

(2)函数 F 1 y = 3 x ,当 PQ = 6 时, t 的值为   

(3)函数 F 1 y = a x 2 + bx + c ( a 0 )

①当 t = b b 时,求 ΔOPQ 的面积;

②若 c > 0 ,函数 F 1 F 2 的图象与 x 轴正半轴分别交于点 A ( 5 , 0 ) B ( 1 , 0 ) ,当 c x c + 1 时,设函数 F 1 的最大值和函数 F 2 的最小值的差为 h ,求 h 关于 c 的函数解析式,并直接写出自变量 c 的取值范围.

来源:2020年辽宁省大连市中考数学试卷
  • 更新:2021-01-15
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学二次函数的最值解答题