如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A$和 $C(1,0)$，交 $y$轴于点 $B(0,3)$，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段 $\mathit{OE}$绕着点 $O$沿顺时针方向旋转得到线段 $O{E}^{\text{'}}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，连接 $\mathit{AE}\text{'}$， $\mathit{BE}\text{'}$，求 $\mathit{BE}\text{'}+\frac{1}{3}\mathit{AE}\text{'}$的最小值；

（3） $M$为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 $N$的横坐标；若不存在，请说明理由．