如图1，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$的坐标为 $(3,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,6)$，点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OA}$以每秒1个单位长度的速度向点 $A$运动，同时点 $Q$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，当点 $P$与点 $A$重合时运动停止．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=2$时，线段 $\mathit{PQ}$的中点坐标为　　；

（2）当 $\mathit{\Delta CBQ}$与 $\mathit{\Delta PAQ}$相似时，求 $t$的值；

（3）当 $t=1$时，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $P$， $Q$两点，与 $y$轴交于点 $M$，抛物线的顶点为 $K$，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 $D$，使 $\angle \mathit{MQD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{MKQ}$？若存在，求出所有满足条件的 $D$的坐标；若不存在，说明理由．