初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(3,0)$、点 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D(0,3)$作直线 $\mathit{MN}//x$轴，点 $P$在直线 $\mathit{MN}$上且 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=S_{\mathit{\Delta DBC}}$，直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$，点 $H$为 $\mathit{BD}$的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）在 $y$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的值最小，则 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的最小值为　　．

（注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

如图，是将抛物线 $y=-x^2$平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x=1$，与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$，另一个交点为 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$为抛物线上一点，且 $\mathit{BC}\perp \mathit{NC}$，求点 $N$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上一点，点 $Q$是一次函数 $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形 $\mathit{OAPQ}$为平行四边形，这样的点 $P$、 $Q$是否存在？若存在，分别求出点 $P$、 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2-3x+\frac{5}{4}$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一点，过点 $D$作 $y$轴的平行线，与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）当线段 $\mathit{DE}$的长度最大时，求点 $D$的坐标．

某学习小组在研究函数 $y=\frac{1}{6}{x}^3-2x$的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

$x$	$\dots$	$-4$	$-3.5$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	3.5	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{7}{48}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{11}{6}$	0	$-\frac{11}{6}$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{3}{2}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{8}{3}$	$\dots$

（1）请补全函数图象；

（2）方程 $\frac{1}{6}{x}^3-2x=-2$实数根的个数为　     　；

（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．

如图，已知直线 $y=-2x+4$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$、 $B$，抛物线过 $A$， $B$两点，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交抛物线于点 $D$．

（1）若抛物线的解析式为 $y=-2x^2+2x+4$，设其顶点为 $M$，其对称轴交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

①求点 $M$、 $N$的坐标；

②是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{MNPD}$为菱形？并说明理由；

（2）当点 $P$的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以 $B$、 $P$、 $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOB}$相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $P$是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$， $l$与 $x$轴的交点为 $D$．在直线 $l$上是否存在点 $M$，使得四边形 $\mathit{CDPM}$是平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$．

①求 $S$关于 $t$的函数表达式；

②求 $P$点到直线 $\mathit{BC}$的距离的最大值，并求出此时点 $P$的坐标．