初中数学二次函数的性质解答题

已知函数，为常数）的图象经过点．

（1）求，满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．

如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求的值和图象的顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上．

①当时，求的值；

②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边，分别在轴，轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点为抛物线的顶点．

（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围．

已知抛物线与轴有两个不同的交点．

（1）求的取值范围；

（2）若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由．

设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．

（1）求的值；

（2）若点在物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线的“不动点”的坐标；

②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、、、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点．

（1）求、、三点的坐标，并求的面积；

（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，且与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点，要使△和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

已知抛物线．

（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的表达式；

（3）若（2）中抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值．

某班"数学兴趣小组"对函数 $y=x^2-2\left|x\right|$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量 $x$ 的取值范围是全体实数， $x$ 与 $y$ 的几组对应值列表如下：

$x$	$\dots$	$-3$	$-\frac{5}{2}$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	3	$\frac{5}{4}$	$m$	$-1$	0	$-1$	0	$\frac{5}{4}$	3	$\dots$

其中， $m=$ 　 　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与 $x$ 轴有 　 　个交点，所以对应的方程 $x^2-2\left|x\right|=0$ 有 　 　个实数根；

②方程 $x^2-2\left|x\right|=2$ 有 　 　个实数根；

③关于 $x$ 的方程 $x^2-2\left|x\right|=a$ 有4个实数根时， $a$ 的取值范围是 　 　．

一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

（1）求，，的值；

（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．