初中数学二次函数的性质解答题

若抛物线 $L：y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a，b，c是常数， $\mathit{abc}\ne 0$）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线 $y＝\mathit{mx}+1$与抛物线 $y＝x^2-2x+n$具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 $y＝\frac{6}{x}$的图象上，它的“带线”l的解析式为 $y＝2x-4$，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足 $\frac{1}{2}\le k\le 2$时，求抛物线 $L：y＝a{x}^2+（3k^2﹣2k+1）x+k$的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

已知抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}-3$经过 $\mathit{（﹣}1，0）$， $（3，0）$两点，与y轴交于点C，直线 $y＝\mathit{kx}$与抛物线交于A，B两点．

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 $\frac{3\sqrt{10}}{2}$？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，顶点为 $A(\sqrt{3},1)$的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△\mathit{OCD}≌△\mathit{OAB}$；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

如图1，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

如图，二次函数 $y\mathit{＝（}x+2{）}^2+m$的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足 $（x+2{）}^2+m\ge \mathit{kx}+b$的x的取值范围．

已知：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$与x轴交于点A（2，0）、B（4，0），且过点C（0，4）．

（1）求出抛物线的解析式和顶点坐标．

（2）请你求出抛物线向左平移3个单位，再向上平移1.5个单位后抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的顶点坐标是 $（-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}）$

如图，对称轴为直线 x＝2的抛物线 y＝ x ²+ bx+ c与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A的坐标为（﹣1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出 B、 C两点的坐标；

（3）求过 O， B， C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

注：二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的顶点坐标为（ $-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}$ ）

如图抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），且 OB＝ OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 D、 E在直线 x＝1上的两个动点，且 DE＝1，点 D在点 E的上方，求四边形 ACDE的周长的最小值．

（3）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP把四边形 CBPA的面积分为3：5两部分，求点 P的坐标．

如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y＝ ax ²+ b（ a≠0）与 x轴交于 A， B两点，直线 y＝ x+ m过顶点 C和点 B．

（1）求 m的值；

（2）求函数 y＝ ax ²+ b（ a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点 M，使得∠ MCB＝15°？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 y＝ x ²+ mx﹣2 m﹣4（ m＞0）．

（1）证明：该抛物线与 x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与 x轴的两个交点分别为 A， B（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C， A， B， C三点都在⊙ P上．

①试判断：不论 m取任何正数，⊙ P是否经过 y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点 C关于直线 x＝﹣ $\frac{m}{2}$ 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE， BD， DE，△ BDE的周长记为 l，⊙ P的半径记为 r，求 $\frac{1}{r}$ 的值．

已知二次函数 y＝ ax ²﹣ bx+ c且 a＝ b，若一次函数 y＝ kx+4与二次函数的图象交于点 A（2，0）．

（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与 x轴交点坐标；

（2）当 a＞ c时，求证：直线 y＝ kx+4与抛物线 y＝ ax ²﹣ bx+ c一定还有另一个异于点 A的交点；

（3）当 c＜ a≤ c+3时，求出直线 y＝ kx+4与抛物线 y＝ ax ²﹣ bx+ c的另一个交点 B的坐标；记抛物线顶点为 M，抛物线对称轴与直线 y＝ kx+4的交点为 N，设 S＝ $\frac{25}{9}$ S _{△ AMN}﹣ S _{△ BMN}，写出 S关于 a的函数，并判断 S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

如图，直线 y＝﹣ x+3与 x轴、 y轴分别交于 B、 C两点，抛物线 y＝﹣ x ²+ bx+ c经过点 B、 C，与 x轴另一交点为 A，顶点为 D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 x轴上找一点 E，使 EC+ ED的值最小，求 EC+ ED的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得∠ APB＝∠ OCB？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4}{x}^2$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _{△ DBC}＝ S _{△ ABC}，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

抛物线 $y＝a{x}^2+c$与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若 $P（1,﹣3）,B（4,0）$．

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足 $\angle \mathit{DPO}＝\angle \mathit{POB}$，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， $\frac{\text{OE}+\text{OF}}{\text{OC}}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．