初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C_1:y=\frac{3}{2}{x}^2+6x+2$的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线 $l：y＝\mathit{kx}+b$经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式 $\frac{3}{2}{x}^2+6x+2<\mathit{kx}+b$的解集；

（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，求3﹣4q的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，﹣4），且与 x轴交于 B、 C两点，点 B的坐标为（3，0）．

（1）写出 C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

已知抛物线 y＝ a（ x﹣1） ²+3（ a≠0）与 y轴交于点 A（0，2），顶点为 B，且对称轴 l ₁与 x轴交于点 M

（1）求 a的值，并写出点 B的坐标；

（2）有一个动点 P从原点 O出发，沿 x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为 t秒，求 t为何值时 PA+ PB最短；

（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点 C，且新抛物线的对称轴 l ₂与 x轴交于点 N，过点 C作 DE∥ x轴，分别交 l ₁， l ₂于点 D、 E，若四边形 MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知点，，，抛物线与直线交于点．

（1）当抛物线经过点时，求它的表达式；

（2）设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，，，且，比较与的大小；

（3）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．

已知，抛物线经过点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标：　　．

（3）如图2，直线经过点，且平行与轴，若点为抛物线上任意一点（原点除外），直线交于点，过点作，交抛物线于点，求证：直线一定经过点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ．

（1）求抛物线 的解析式；

（2）当点 是线段 的中点时，求点 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 的值．

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S_△ABE＝S_△ABC时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，直线 y＝ kx+1（ k≠0）与双曲线 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 相交于点 P（1， m）．

（1）求 k的值；

（2）若点 Q与点 P关于直线 y＝ x成轴对称，则点 Q的坐标是 Q（ 　　）；

（3）若过 P、 Q二点的抛物线与 y轴的交点为 $N\left(0,\frac{5}{3}\right)$ ，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4,4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0<t<4)$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PN}//x$ 轴，分别交 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $\mathit{AO}$ 的长为 　　， $\mathit{AB}$ 的长为 　　；

（2）当 $t=1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $\mathit{MN}$ 的长为 　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $\mathit{MN}$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $\mathit{\Delta AOE}$ 和 $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积分别表示为 $S_1$ 和 $S_2$ ，当 $t=\frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_1·S_2$ （即 $S_1$ 与 $S_2$ 的积）的最大值为 　　．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(2,0)$ ， $B(3n-4,y_1)$ ， $C(5n+6,y_2)$ 三点，对称轴是直线 $x=1$ ．关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=x$ 有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $n<-5$ ，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小；

（3）若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $x=1$ 的两侧，且 $y_1>y_2$ ，求 $n$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．

（1）　　，点的坐标为　　；

（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值．

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．

①　　；

②　　；

③　　．

（2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．

（3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．